Komplexe Zahlen 2

28.04.2011, 10:18

zathan796

Komplexe Zahlen 2

Guten Morgen Nachdem ich heute morgen schon erfolgreich ein paar Aufgaben gelöst habe..

Bin ich hier wieder Stecken geblieben!!

Bestimmen Sie alle Lösungen von

$\begin{eqnarray*} z^{3} - \frac{4+3i}{1+2i} +e^{i\frac{\pi }{2} } =0 \end{eqnarray*}$

also ich habe jetzt zum Versuch einfach mal

$\begin{eqnarray*} - \frac{4+3i}{1+2i} \end{eqnarray*}$

diesen Teil genommen und berechnet daraus kommt !!

$\begin{eqnarray*} -2-i \end{eqnarray*}$

Der Winkel ist doch hiermit gegeben $\begin{eqnarray*} e^{i\frac{\pi }{2} } \end{eqnarray*}$

jetzt suche ich doch eigentlich nur noch $\begin{eqnarray*} r=|z| \end{eqnarray*}$

danke euch

28.04.2011, 10:51

Mystic

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RE: Komplexe Zahlen 2

Zitat:

Original von zathan796
Guten Morgen Nachdem ich heute morgen schon erfolgreich ein paar Aufgaben gelöst habe..

Bin ich hier wieder Stecken geblieben!!

Oops, als Stecken stelle ich mir das Leben nicht schön vor... Na, da wollen wir mal versuchen, dich aus dieser misslichen Lage zu befreien... Augenzwinkern

Zitat:

Original von zathan796
also ich habe jetzt zum Versuch einfach mal

$\begin{eqnarray*} - \frac{4+3i}{1+2i} \end{eqnarray*}$

diesen Teil genommen und berechnet daraus kommt !!

$\begin{eqnarray*} -2-i \end{eqnarray*}$

Hm, sagen wir mal: Fast richtig... Irgendwo hat sich da ein kleiner Vorzeichenfehler eingeschlichen...

Aus dem Nachfolgenden werde ich allerdings nicht ganz klug... verwirrt

Zitat:

Original von zathan796
Der Winkel ist doch hiermit gegeben $\begin{eqnarray*} e^{i\frac{\pi }{2} } \end{eqnarray*}$

jetzt suche ich doch eigentlich nur noch $\begin{eqnarray*} r=|z| \end{eqnarray*}$

Kann es vielleicht sein, dass du die Euler'sche Formel

$\begin{eqnarray*} e^{i\varphi}=\cos \varphi +i \sin \varphi \end{eqnarray*}$

nicht kennst?

28.04.2011, 11:01

Elvis

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@zathan796
Du darfst nicht nur die dritte Wurzel aus einem Summanden ziehen. Gesucht sind die dritten Wurzel aus 2-2i .

28.04.2011, 11:07

zathan796

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RE: Komplexe Zahlen 2
Doch ich kenne Diese Formel!! Ich habe Sie ja vor mir liegen!!! (SCHON SEIT MONATEN Augenzwinkern

)

Aber was ich jetzt nicht verstehe ist

$\begin{eqnarray*} e^{i\varphi}=\cos \varphi +i \sin \varphi \end{eqnarray*}$

Mein $\begin{eqnarray*} {\varphi}=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ oder nichts!!

wie komme ich denn jetzt auf mein r??

Ich könnte mein r doch mit diesem hier berechnen!

$\begin{eqnarray*} -2-i \end{eqnarray*}$

dann kommt mein r mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ es soll aber $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ sein!!

28.04.2011, 11:10

Mystic

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RE: Komplexe Zahlen 2

Zitat:

Original von zathan796
Doch ich kenne Diese Formel!! Ich habe Sie ja vor mir liegen!!!

Aber was ich jetzt nicht verstehe ist

$\begin{eqnarray*} e^{i\varphi}=\cos \varphi +i \sin \varphi \end{eqnarray*}$

Mein $\begin{eqnarray*} {\varphi}=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ oder nichts!!

wie komme ich denn jetzt auf mein r??

Sorry, aber ich sehe in dieser Formel nirgendwo ein r... Warum setzt du also nicht einfach $\begin{eqnarray*} \varphi =\pi/2 \end{eqnarray*}$ ein? verwirrt

28.04.2011, 11:19

zathan796

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RE: Komplexe Zahlen 2
Jetzt bin ich ein bissel durcheinander!!
Ich habe das da eingesetzt!!

$\begin{eqnarray*} e^{i\frac{\pi}{2} }=cos \frac{\pi }{2} +sin \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$

nützt mir mein $\begin{eqnarray*} (2-i) \end{eqnarray*}$ hier irgendwie?

28.04.2011, 11:23

Elvis

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Ja, $\begin{eqnarray*} e^{i\frac {\pi}2}=i\Rightarrow 2-i-e^{i\frac {\pi}2}=2-2i \end{eqnarray*}$ , daraus wird die dritte Wurzel gesucht.

28.04.2011, 11:24

Mystic

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RE: Komplexe Zahlen 2

Zitat:

Original von zathan796
Jetzt bin ich ein bissel durcheinander!!
Ich habe das da eingesetzt!!

$\begin{eqnarray*} e^{i\frac{\pi}{2} }=cos \frac{\pi }{2} +sin \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$

Ja und? Hast du da gar nicht das "Bedürfnis" das noch weiter zu vereinfachen? verwirrt

Zitat:

Original von zathan796
nützt mir mein $\begin{eqnarray*} (2-i) \end{eqnarray*}$ hier irgendwie?

Klar nützt das dann was... Aber soweit sind wir ja leider noch nicht (s.o.) ... unglücklich

Edit: Au weia, das hatte ich befürchtet... Elvis ist die Geduld gerissen und er hat dir das nun vorgerechnet... Na dann bin ich hier wohl überflüssig... Wink

28.04.2011, 11:40

zathan796

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RE: Komplexe Zahlen 2
Ich glaube ich habe es verstanden!!!
Aber mal noch mal kurz

$\begin{eqnarray*} e^{i\frac{\pi}{2} }=cos \frac{\pi }{2} +sin \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{i\frac{\pi}{2} }=1 \end{eqnarray*}$

oder nicht..

du hast gesagt es ist i ?? ist das einfach so..?? Ich finde gerade nichs darüber!!!

danke dir..warst eine super hilfe!!!

SORRY FÜR DIESE RICHTIG BES:::::: FRAGE....

Klar ist das $\begin{eqnarray*} e^{i\frac{\pi}{2} }=i \end{eqnarray*}$

28.04.2011, 11:56

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \frac {\pi} 2=90°\Rightarrow e^{i\frac {\pi} 2}=i \end{eqnarray*}$
Merke: $\begin{eqnarray*} e^0=1,e^{i\frac{\pi}2}=i,e^{i{\pi}}=-1,e^{i{\frac{3\pi}2}}=-i,e^{2\pi i}=1 \end{eqnarray*}$
Dazu musst du dir nur einmal einen Kreis um 0 mit Radius 1 ansehen. Lehrer

28.04.2011, 12:07

zathan796

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ya..

bin ich dann mit diesem schritt heir richtig?

$\begin{eqnarray*} z^{3} =2-2i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^{3} =2\sqrt{2}[(cos -\frac{\pi }{4} )+ i* (sin-\frac{\pi }{4})] \end{eqnarray*}$

28.04.2011, 12:15

Elvis

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Zitat:

Original von zathan796
ya..

bin ich dann mit diesem schritt heir richtig?

$\begin{eqnarray*} z^{3} =2-2i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^{3} =2\sqrt{2}[(cos -\frac{\pi }{4} )+ i* (sin\frac{\pi }{4})] \end{eqnarray*}$

Schreibfehler bei cos und Vorzeichenfehler beim sin ! Schreibe doch lieber $\begin{eqnarray*} z^3=2\sqrt 2 e^{-\frac {\pi}4 i} \end{eqnarray*}$ . Das ganze Zeug mit sin und cos ist 18. Jahrhundert (Euler), willkommen in der Neuzeit !

28.04.2011, 12:28

zathan796

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Kann ich denn jetzt die n-ten Wurzeln davon auch ziehen?? ich denke mal!!

28.04.2011, 12:40

klarsoweit

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Ja.

28.04.2011, 12:49

Elvis

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@zathan796
eine 3. Wurzel hat als Betrag die 3. Wurzel des Betrags, als Argument ein Drittel des Arguments. Die anderen beiden liegen wieder durch Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ auf einem Kreis um 0.

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