konvexe Menge

28.04.2011, 15:10

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konvexe Menge

Meine Frage:
Hi,
Ich soll zeigen, dass die Menge $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ konvex ist.
$\begin{eqnarray*} M_1=\left\{ x+t(y-x)|t\in [0,1]\right\}, x,y \in \mathbb R^m fest \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Als Definition steht in unserem Skript:
Eine Menge $\begin{eqnarray*} G \subset \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ heist konvex, falls für je zwei Punkte $\begin{eqnarray*} x,y \in G \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \left\{ x+t(y-x)|t\in [0,1]\right\} \end{eqnarray*}$ in G liegt.

Nun entspricht ja die Menge $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ genau der Menge aus der Definition. Reicht das als Begründung, oder wie muss ich hier vorgehen?
Danke

28.04.2011, 15:19

Mazze

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Zitat:

Nun entspricht ja die Menge $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ genau der Menge aus der Definition.

Ist das wirklich so? Augenzwinkern

Schreib mal genau auf, was Konvexität für $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ heißt.

28.04.2011, 15:27

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Konvexität für $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ bedeutet:
$\begin{eqnarray*} \forall x,y \in M_1: \left\{ x+t(y-x)|t\in [0,1]\right\} \subset M_1 \end{eqnarray*}$

28.04.2011, 15:31

Mazze

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Ich denke wenn Du statt $\begin{eqnarray*} x,y \in M_1 \end{eqnarray*}$ besser $\begin{eqnarray*} x_0,y_0 \in M_1 \end{eqnarray*}$ schreiben würdest, würdest Du sehen wohin es geht.

Die Menge $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ ist für festes (!) x,y definiert. Damit die Menge konvex ist, muss für jedes $\begin{eqnarray*} x_0 , y_0 \in M_1 \end{eqnarray*}$ also auch deren konvexe Hülle drin sein. Sprich :

$\begin{eqnarray*} \{x_0 + (y_0 - x_0) | t \in[0,1]\} \subset \{x + (y - x) | t \in[0,1]\} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x_0,y_0 \in M_1 \end{eqnarray*}$ ist zu zeigen.

28.04.2011, 15:39

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Zitat:

Original von Mazze
$\begin{eqnarray*} \{x_0 + (y_0 - x_0) | t \in[0,1]\} \subset \{x + (y - x) | t \in[0,1]\} \end{eqnarray*}$

Du hast das t vergessen, oder?
es muss doch $\begin{eqnarray*} \{x_0 +t(y_0 - x_0) | t \in[0,1]\} \subset \{x + t(y - x) | t \in[0,1]\} \end{eqnarray*}$ heißen?!

28.04.2011, 15:43

Mazze

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Ja, t vergessen! Danke für den Hinweis.

28.04.2011, 15:52

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Hmm, ich weiß gerade nicht wirklich wie ich das zeigen soll.
Kann ich annehmen, dass es zwei Punkte $\begin{eqnarray*} x_0,y_0 \in M_1 \end{eqnarray*}$ gibt, für die gilt:
$\begin{eqnarray*} \{x_0 +t(y_0 - x_0) | t \in[0,1]\} \not\subset \{x + t(y - x) | t \in[0,1]\} \end{eqnarray*}$
Und das zum Widerspruch führen? Aber wie...?

28.04.2011, 15:59

Mazze

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Seien also $\begin{eqnarray*} x_0,y_0 \in M_1 \end{eqnarray*}$ , dann gibt es $\begin{eqnarray*} t_1,t_2 \in [0,1] \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} x + t_1(y - x) = x_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x + t_2(y - x) = y_0 \end{eqnarray*}$

Weiterhin betrachten wir für $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} x_0 + t(y_0 - x_0) \end{eqnarray*}$

und hätten gerne das dass in M_1 liegt. Wenn Du eine Zahl $\begin{eqnarray*} \tilde{t} \in [0,1] \end{eqnarray*}$ findest mit

$\begin{eqnarray*} x_0 + t(y_0 - x_0) = x + \tilde{t}(y - x) \end{eqnarray*}$

bist Du fertig.

28.04.2011, 17:19

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$\begin{eqnarray*} x_0 + t(y_0 - x_0) = x + \tilde{t}(y - x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x + t_1(y - x)+t(x + t_2(y - x) - x + t_1(y - x))=x + \tilde{t}(y - x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \tilde{t}=t_1+t(t_1+t_2) \end{eqnarray*}$

Meinst du so?

Wie zeige ich denn, dass $\begin{eqnarray*} \tilde{t} \in [0,1] \end{eqnarray*}$ ist?

28.04.2011, 17:26

Mazze

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Du hast da einen Vorzeichenfehler beim einsetzen gemacht. Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} x + t_1(y - x) + t(x + t_2(y - x) - x - t_1(y - x)) = x + \tilde{t}(y - x) \end{eqnarray*}$

28.04.2011, 17:31

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Oh, ja stimmt. Dann lautet das Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \tilde{t}=t_1+t(t_2-t_1) \end{eqnarray*}$

Doch wie gehts jetzt weiter. Man muss doch noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \tilde{t} \in [0,1] \end{eqnarray*}$ , oder?

28.04.2011, 19:40

Mazze

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Zitat:

Doch wie gehts jetzt weiter. Man muss doch noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \tilde{t} \in [0,1] \end{eqnarray*}$ , oder?

Ja richtig. Und das geht auch.

28.04.2011, 19:45

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Könntest du mir da auf die Sprünge helfen Augenzwinkern

29.04.2011, 09:32

Mazze