Schnittmenge zweier Teilräume

28.04.2011, 15:36	dreikommadrei	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittmenge zweier Teilräume Zeigen Sie, dass wenn U und U' Teilräume eines Vektorraumes V sind, auch $\begin{eqnarray} U \cap U' \end{eqnarray}$ ein Teilraum von V ist. Im Prinzip ists ja klar... Zunächst ist das NE, also der Nullvektor sowohl in U als auch in U' und demnach auch in der Schnittmenge von U und U'. Außerdem gilt ja $\begin{eqnarray} \forall x\in U\cap U' \Rightarrow x\in U \wedge x\in U' \end{eqnarray}$ Sei nun $\begin{eqnarray} x,y\in U\cap U' \Rightarrow x+y\in U\cap U' \end{eqnarray}$ da x und y sowohl Elemente von U als auch von U' und dies Teilräume sind die abgeschlossen gilt: $\begin{eqnarray} x+y\in U \wedge U'\Rightarrow x+y \in U \wedge U' \Rightarrow x+y \in U\cap U' \end{eqnarray}$ Kann man das so schreiben oder fehlt da die Hälfte?
28.04.2011, 15:40	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Dir fehlt der Teil, dass auch skalare Vielfache in $\begin{eqnarray} U \cap U' \end{eqnarray}$ liegen müssen. Die Argumentation ist Ok, der Aufschrieb nicht ganz. Seien $\begin{eqnarray} x,y \in U \cap U' \end{eqnarray}$ , dann ist also insbesondere $\begin{eqnarray} x,y \in U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x,y \in U' \end{eqnarray}$ . Damit sind auch $\begin{eqnarray} x + y \in U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x + y \in U' \end{eqnarray}$ , also insgesamt $\begin{eqnarray} x + y \in U \cap U' \end{eqnarray}$ .
28.04.2011, 15:45	dreikommadrei	Auf diesen Beitrag antworten »
also Seien $\begin{eqnarray} a \in K \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x,y \in U \cap U' \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} x,y \in U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x,y \in U' \end{eqnarray}$ . Damit sind auch $\begin{eqnarray} x + y \in U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ax \in U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x + y \in U' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ax \in U' \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} x + y \in U \cap U' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ax U \cap U' \end{eqnarray}$
28.04.2011, 15:47	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so geht das.
28.04.2011, 15:48	dreikommadrei	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank

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