Beweise für Teilmengen einer Abbildung

28.04.2011, 16:00

Roonex

Beweise für Teilmengen einer Abbildung

Hallo,
folgende Aufgabenstellung:

Seien M, N Mengen. Seien $\begin{eqnarray*} B_{1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B_{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ N Teilmengen und f : M -> N eine Abbildung. Beweise die folgende Aussage:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(B_{1} \cup B_{2} ) = f^{-1}(B_{1}) \cup f^{-1}(B_{2}) \end{eqnarray*}$

So an sich find ich das logisch, aber ich weiß eben nicht wie sich das beweisen lässt :-(

Mein einziger Ansatz ist es, die Teilmengen innerhalb der Klammer vom $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ zu ersetzen durch $\begin{eqnarray*} B_{1} = \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} y | y \in B_{1} \end{eqnarray*}$ } und $\begin{eqnarray*} B_{2} = \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} y | y \in B_{2} \end{eqnarray*}$ } , dann die $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ -Verknüpfung 'ersetzen' durch eine $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ -Verknüpfung und dann mal in zwei $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ 's auseinanderzuziehen.

(Das alles mit Latex aufzuschreiben würde mir zu lang dauern)

Finde aber, dass das kein Beweis ist geschweige denn überhaupt richtig ist.

Sitze schon fast 2 Stunden an dem Mist, blättere im Vorlesungs-Skript und finde einfach keine Möglichkeit die Ausdrücke irgendwie sinnvoll auszutauschen, sodass ein Beweis entsteht :-(

Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich da noch rangehen kann/soll ?

Edit: Eine Skizze hab ich mir bereits gemacht... aber die hilft mir irgendwie auch nix ?_?

28.04.2011, 16:17

Mazze

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Wenn Du zwei Mengen A und B hast, wie beweist man dann das $\begin{eqnarray*} A = B \end{eqnarray*}$ gilt ?

28.04.2011, 16:20

Roonex

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Na gut, hab noch einen Weg (ich beschreibs mal ohne Latex sonst dauerts ewig)

f^(-1) sei mal g
U soll mal für Vereinigungsmenge stehen

g(B1 U B2) = C = C1 U C2 mit "C ist Teilmenge von M" und

C1 = g(B1)
C2 = g(B2) und ihrerseits Teilmengen von C

Aus "C1 U C2" folgt "g(B1) U g(B2)"

Aber auch das ist einfach äusserst einfach gelöst und irgendwie kein Beweis ._.

@Mazze:
Das eine ist Teilmenge vom anderen? Und das in beide Richtungen?

28.04.2011, 16:24

Mazze

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Zitat:

Das eine ist Teilmenge vom anderen? Und das in beide Richtungen?

So siehts aus. Sei also

$\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(B_1 \cup B_2) \end{eqnarray*}$

was gilt dann?

28.04.2011, 16:27

Roonex

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In Worten:

x ist Element von $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ (B1) oder x ist Element von $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ (B2).

Edit: Meinte natürlich 'oder', hab zuerst 'und' geschrieben ^^

28.04.2011, 16:35

Mazze

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Dann hast Du aber schon die Aussage benutzt, die Du zeigen sollst.

Wenn $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(B_1 \cup B_2) \end{eqnarray*}$ , so gibt es ein $\begin{eqnarray*} y \in B_1 \cup B_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = y \end{eqnarray*}$ , also ?

28.04.2011, 16:42

Roonex

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$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(x)) = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) \in B_{1} \cup B_{2} \end{eqnarray*}$

Weiß jetzt nicht worauf du hinaus willst :-(

28.04.2011, 16:43

Mazze

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Zitat:

Weiß jetzt nicht worauf du hinaus willst :-(

Du könntest Dir ja mal überlegen wo wir hinwollen Augenzwinkern

.

edit :

Nach deinem Edit. So was ähnliches ist schon richtig. Wenn

$\begin{eqnarray*} f(x) \in B_1 \cup B_2 \end{eqnarray*}$

dann gibt es 2 Fälle :

$\begin{eqnarray*} f(x) \in B_1 \end{eqnarray*}$ oder

$\begin{eqnarray*} f(x) \in B_2 \end{eqnarray*}$

das heißt ?

28.04.2011, 16:51

Roonex

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Das Überlegen funktioniert kaum noch unglücklich

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(y)\in f^{-1}(B_{1}) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y)\in f^{-1}(B_{2}) \end{eqnarray*}$

28.04.2011, 16:55

Mazze

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Das ist doch fast die Lösung, nur würde ich eher x als $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ schreiben (letzteres muss nämlich nichtmal existieren) wenn

$\begin{eqnarray*} f(x) \in B_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x) \in B_2 \end{eqnarray*}$ , dann ist natürlich

$\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(B_1) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(B_2) \end{eqnarray*}$

Und wie kann man das "oder" wohl Mengentheoretisch interpretieren?

28.04.2011, 16:57

Roonex

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Sicherlich als Vereinigungsmenge...

Jetzt muss ich noch mal drüberschauen verwirrt

28.04.2011, 16:58

Mazze

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Zitat:

Sicherlich als Vereinigungsmenge...

Richtig, damit hätten wir also $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2) \end{eqnarray*}$

also gilt schonmal

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(B_1 \cup B_2) \subset f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2) \end{eqnarray*}$

28.04.2011, 17:04

Roonex

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Sorry, ich weiß wir sind mitten in den Überlegungen, aber ich muss jetzt leider weg :-(
Ich schaus mir heut abend nochmal an, und wenns dann klar ist schreib ich es hier rein, und wenn nicht dann frag ich hier weiter :-)

Vielen Dank für die bisherige Hilfe!! Wink

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