Prüfen oben ein gegebener Punkt in einem Parallelogramm liegt |
| 28.04.2011, 19:11 | BTKA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Prüfen oben ein gegebener Punkt in einem Parallelogramm liegt Ich habe folgenden Übungsaufgabe. gegeben ist eine Parallelogramm ABCD mit den Punkten A=(0,0,0), B=(1,0,1) C=(0,1,2) und D=(-1,1,1) Frage: Liegt der Punkt P=(1/2,1/2,1) auf dem Parallelogramm? Lösungsansatz: Ok. Bin zuerst hingegangen und hab die Ebenengleichung aufgestellt. Vektor AB= (1,0,1) Vektor AD= (-1,1,1) x= (0,0,0) + s * (1,0,1) + t * (-1,1,1) Diese Ebenengleichung habe ich dann mit dem Punkt P gleichgesetzt und jeweils nach s und t aufgelöst, so dass ich für s=1/2 und t auch 1/2 rausbekomme. So. Und hier liegt der Knackpunkt. Es heißt doch eigentlich wenn s und t jeweils zwischen 0 und 1 liegen, also 0<s<1, dann liegt das Ding in der Ebene. Das ist ja bei mir der Fall. Oder muss ich hergehen und das s und t in meine Ursprungs-Ebenegleichung einsetzten? Das habe ich auch mal gemacht. Dort kommt dann nach dem ausmultiplizieren als Punkt (0,1/2,1) raus. Das ist ja nicht der Punkt P. Liegt das Ding nu in dem Parallelogramm oder nit? Gruß |
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| 28.04.2011, 22:59 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Prüfen oben ein gegebener Punkt in einem Parallelogramm liegt Deine Überlegungen stimmen grundsätzlich, aber bei der Bestimmung der Parameter hast Du Dich vertan. Du müßtest auf einen Widerspruch kommen. Und dann musst Du auch unterscheiden zwischen Ebene (unbegrenzt) und Deinem Parallelogramm (begrenzt). Ein Punkt, der im Parallelogramm liegt, liegt somit auch in der Ebene. Wenn die Parameter außerhalb des Bereichs liegen, den Du richtig angegeben hast, liegt der Punkt zwar in der Ebene, aber nicht im Parallelogramm. |
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| 29.04.2011, 08:45 | BTKA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi Das ist ja genau das Problem was ich habe. Meine errechneten Parameter liegen ja in den bereichen 0<s<1, 0<t<1 und 0<s+t<2 Wenn ich das ganze einsetze gibt es ja den Widerspruch mit dem Punkt, welcher ja abweicht. Gegeben ist P=(1/2,1/2,1) und raus kommt P=(0,1/2,1). Also liegt jetzt dieser Punkt zwar in der Ebene, aber nicht im Parallelogramm? Aber warum erfüllt er dann die parameter fürs Parallelogramm spricht 0<s<1 usw.? Gruß |
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| 29.04.2011, 09:39 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, eben nicht! Der Punkt P (1/2 1/2 1) liegt weder innerhalb des Parallelogramms noch in der Ebene. Zumindest komme ich mit Deinen Koordinatenangaben auf dieses Ergebnis. Du musst ja dieses LGS gelöst haben: 0,5 = s - t 0,5 = 0 + t 1 = s + t Zeige Deinen Rechenweg, es ist ja nicht ausgeschlossen, dass ich mich irre. |
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| 29.04.2011, 11:31 | BTKA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast recht. habe die Aufgabe eben nochmal gerechnet. den gegebenen Punkt mit der Ebenengleichung gleichgesetzt und bekomme genau wie du 1/2 = s - t 1/2 = t 1 = s + t raus. Hier lag auch bei meiner Vorrechnung glaube ich auch der Fehler, da ich nur in die untere Gleichung das t aus der zweiten eingesetzt habe. Dies liegt dann aber im Widerspruch zu der ersten gleichung. Also ist ja nun in dem Gleichungssystem ein Widerspruch vorhanden! Was mir sagt der Punkt liegt nicht in der Ebene, oder? Wäre das Gleichungssystem nun aufgegangen, hätte ich meine s und t Werte doch in die Ebenengleichung einsetzten können, als Probe und hätte wieder Punkt P oder? Gruß |
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| 29.04.2011, 12:29 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Einsetzen der Lösungen für die Parameter muss wieder Punkt P ergeben, das ist richtig und so eine Probe ist immer ratsam. Da der Punkt aber nicht in der Ebene liegt, ergibt sich auch nicht die eigentliche Frage der Aufgabe. Aber das Problem hast Du meine ich richtig verstanden. Falls der Punkt in der Ebene liegt, musst Du prüfen, ob die Werte der beiden Parameter kleiner 0 oder größer 1 sind, woraus folgt: P liegt außerhalb des Parallelogramms (andernfalls liegt der Punkt innerhalb). |
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| 29.04.2011, 12:34 | BTKA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oki bis auf das habe ich das verstanden. Heißt es nicht es muß gegeben sein 0<s<1 0<t<1 0<s+t<2 ? Gruß |
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| 29.04.2011, 12:43 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das kann durchaus sein. Wenn Du diese Definition im Buch hast, halte Dich daran. Ich hätte jetzt angenommen, dass die Randpunkte noch als "innerhalb" zählen. |
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| 29.04.2011, 14:21 | BTKA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super. Danke für die Hilfe. gruß |
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