Schiefkörper & nicht Körper

Neue Frage »

Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
Schiefkörper & nicht Körper
Hallo,

nachdem ich mich mit den Begriffen "Gruppen Ringe Körper" hier vertraut gemacht habe, will ich mal eine Frage dazu loswerden:

Es heißt ja, dass ein Körper so ein Ring ist, bei dem nicht nur eine Halbgruppe ist, sondern auch eine abelsche Gruppe.
Der Schiefkörper ist fast genauso definiert, außer, dass diese Gruppe nicht abelsch sein muss.

Daraus schließe ich: Jede abelsche Gruppe ist eine Gruppe, also ist jeder Körper ein Schiefkörper.

Allerdings erriniere ich mich daran, mal gelesen zu haben, dass es auch Körper gibt, die keine Schiefkörper sind! verwirrt


Wie soll das funktionieren?

Vielen Dank,
Pascal
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schiefkörper & nicht Körper
Zitat:
Original von Pascal95
Wie soll das funktionieren?


Das weiß ich auch nicht. Üblicherweise sagt man Schiefkörper, wenn die Multiplikation nicht notwendig kommutativ ist; also genau, wie Du es aufgefasst hast.

Manche Autoren definieren jedoch diese Schiefkörper als Körper und sprechen bei kommutativer Multiplikation von kommutativen Körpern. Im Zweifel überzeugt schlägt man also die Konvention der aktuellen Quelle nach.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank zweiundvierzig.

Am besten lass ich mich dadurch nicht verwirren böse

Das hat mich eben nur gewundet.

Jetzt finde ich bei Wikipedia doch noch den Hinweis, dass meine Vermutung richtig war smile

Allerdings habe ich dabei noch was anderes entdeckt:
Zitat:
Alle Schiefkörper mit einer endlichen Anzahl von Elementen sind nach dem Satz von Wedderburn zugleich Körper. Ist ein Schiefkörper kein Körper, muss er demnach aus unendlich vielen Elementen bestehen. Ein Beispiel ist der Schiefkörper der Quaternionen.

Und nicht gleich, dass die Vermutung aufkommt -> nein ich habe da nichts verwechselt Augenzwinkern
Hier wird ja das Umgekehrte behauptet, was mir klar war. Allerdings mit EInschränkung?
Warum sind denn alle Schiefkörper mit einer endlichen Anzahl von Elementen auch Körper ?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Warum sind denn alle Schiefkörper mit einer endlichen Anzahl von Elementen auch Körper ?

Naja, wie du selbst oben schon gesagt hast:

Zitat:
Alle Schiefkörper mit einer endlichen Anzahl von Elementen sind nach dem Satz von Wedderburn zugleich Körper.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Warum sind denn alle Schiefkörper mit einer endlichen Anzahl von Elementen auch Körper ?


Man kann den Satz von Wedderburn aus dem Satz von Skolem-Noether folgern, das findest du hier auf Seite 82.
Alternativ findet sich hier noch eine Beweisskizze.

Meinem Verständnis nach ist jeder Körper auch ein Schiefkörper, aber das ist eben der feine Unterschied, ob man bei der Definition des Schiefkörpers nicht die Kommutativität der Multiplikation oder die Nichtkommutativität der Multiplikation fordert.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Meinem Gefühl nach ist Schiefkörper ein veralteter Begriff. Außer im Zusammenhang mit dem Quaternionenschiefkörper ist er mir auch noch nirgendwo sonst im "mathematischen Alltag" begegnet.
Das ist jedoch lediglich ein persönliches Gefühl, ich kann es nicht durch Fakten untermauern ...
 
 
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, da sind ja schon viele Antworten auf einmal smile

@Mystic : Ja, aber ich wollte wissen, was genau dieser Satz aussagt (habe es nicht ganz klar formuliert).

@jester. : Danke dir, ich habe gelernt, man fordert nicht die Kommutativität (nicht zu verwechseln mit: Ich fordere, dass es nicht kommutativ ist Augenzwinkern
Die Aussage des "Satzes von Wedderburn" kann ich mit meinen Kenntnissen ja noch gut verstehen, aber die Beweisskizze - auf englich- habe ich nicht verstanden, leider auch nicht den Beweis des "Skolem–Noether theorem" s .
Kann mir jemand die Bedeutung dieses Theorems erklären. Entweder liegts an meinen Mahte- oder Englisch-Defiziten; ich weiß es nicht.

@Leopold: Naja, der Begriff wurde wirklich nur kurz angesprochen, hat mich aber interessiert smile
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Meinem Gefühl nach ist Schiefkörper ein veralteter Begriff. Außer im Zusammenhang mit dem Quaternionenschiefkörper ist er mir auch noch nirgendwo sonst im "mathematischen Alltag" begegnet.
Das ist jedoch lediglich ein persönliches Gefühl, ich kann es nicht durch Fakten untermauern ...


Wenn du dich nur auf den Begriff an sich beziehst, dann gibt es noch die "(assoziative) Divisionsalgebra" als Synonym.
Aber Schiefkörper tauchen doch schon öfters auf, beispielsweise als Endomorphismenringe einfacher Moduln (Bild und Kern sind als Untermoduln entweder 0 oder der ganze Modul, somit hat jeder Nicht-Null-Endomorphismus Links- und Rechtsinverse). Außerdem gibt es da noch einen netten Satz (ebenfalls von Joseph Wedderburn), der besagt, dass jeder halbeinfache Ring (d.h. er ist direkte Summe von einfachen Ringen) isomorph zu einer direkten Summe von Matrixringen über Schiefkörpern (soll heißen durchaus von verschiedenen Formaten über verschiedenen Schiefkörpern) ist.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ob ich das Thema jemals soweit vertiefe (n kann)?

Ich werd dann mal fragen, ob wir viel mit Schiefkörpern machen werden.
Der Begriff wurde ja wenigstens erwähnt.

Trotzdem vielen Dank für die Bemühungen.
Es ist auch schön, immer zu sehen, dass einem geholfen wird.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Aber Schiefkörper tauchen doch schon öfters auf, beispielsweise als Endomorphismenringe einfacher Moduln (Bild und Kern sind als Untermoduln entweder 0 oder der ganze Modul, somit hat jeder Nicht-Null-Endomorphismus Links- und Rechtsinverse). Außerdem gibt es da noch einen netten Satz (ebenfalls von Joseph Wedderburn), der besagt, dass jeder halbeinfache Ring (d.h. er ist direkte Summe von einfachen Ringen) isomorph zu einer direkten Summe von Matrixringen über Schiefkörpern (soll heißen durchaus von verschiedenen Formaten über verschiedenen Schiefkörpern) ist.

Ja, das sind die klassischen Beispiele für Schiefkörper, wobei man sagen muss, letzteres hängt mit ersterem zusammen...
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »