Grenzwert berechnen..

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28.04.2011, 20:04	otto89	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert berechnen.. Hallo, ich habe ein Problem mit der Berechnung eines Grenzwertes.. Ich komme zwar auf die richtige Lösung, allerdings sehr aufwendig.. Mein Tutor meint, dass es da einen einfacheren Weg gibt - den ich finden soll.. Meine Lösung ist: Aufgabe: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} (\sqrt{x^2+4x+5}+x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} (\sqrt{x^2+4x+5}+x) =\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} (\sqrt{x^2+4x+5}+x) \frac{-x+\sqrt{5+4x+x^2}}{-x+\sqrt{5+4x+x^2}} =\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{4x+5}{\sqrt{x^2+4x+5}-x} = 5\bigl(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+4x+5}-x}\bigr)+4\bigl(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+4x+5}-x}\bigr) = 4\biggl(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} [\frac{1}{\frac{\sqrt{x^2+4x+5}}{x}-1}\biggr) + \frac{5}{\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} (\sqrt{x^2+4x+5}-x)} = 4\biggl(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} [\frac{1}{\frac{\sqrt{x^2+4x+5}}{x}-1}\biggr) + \frac{5}{\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \sqrt{x^2+4x+5}-\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}x} =<br /> 4\biggl(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} [\frac{1}{\frac{\sqrt{x^2+4x+5}}{x}-1}\biggr) + \frac{5}{\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} (\sqrt{x^2+4x+5}+\infty)} =4\biggl(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} [\frac{1}{\frac{\sqrt{x^2+4x+5}}{x}-1}\biggr) + \frac{5}{ (\sqrt{\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}x^2+4x+5}+\infty)} =4\biggl(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} [\frac{1}{\frac{\sqrt{x^2+4x+5}}{x}-1}\biggr) =\frac{4}{\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} {\frac{\sqrt{x^2+4x+5}}{x}-1}} =\frac{4}{\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} -\sqrt{\frac{x^2+4x+5}{x^2}}-1} =\frac{4}{-\biggl(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \sqrt{\frac{x^2+4x+5}{x^2}}\biggr)-1} =\frac{4}{-\sqrt{\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2+4x+5}{x^2}}-1} =\frac{4}{-\sqrt{\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} 1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^{2}}}-1} =\frac{4}{-\sqrt{1+0+0}-1} =-2$ \end{eqnarray}$
28.04.2011, 20:08	Shortstop	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Erweiterung mit der 3. Binomischen Formel ist richtig, ab da kannst du aber einfach sofort in Zähler und Nenner ein x ausklammern und den Grenzwert ablesen.
29.04.2011, 17:31	otto89	Auf diesen Beitrag antworten »
Also meinst du im Nenner ausklammern? Weil im Zähler steht ja nur $\begin{eqnarray} 4x+5 \end{eqnarray}$ im Nenner könnte man dann in der Wurzel ausklammern: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} (\sqrt{x^2+4x+5}+x) = \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} (\sqrt{x^2+4x+5}+x) \frac{-x+\sqrt{5+4x+x^2}}{-x+\sqrt{5+4x+x^2}} = \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{4x+5}{\sqrt{x(x+4)+5}-x} \end{eqnarray}$ Das bringt mich nur auch nicht weiter..
29.04.2011, 18:14	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst auch aus einer 5 ein x ausklammern: $\begin{eqnarray} 5 = x \cdot \frac 5 x \end{eqnarray}$
29.04.2011, 18:55	otto89	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber inwiefern bringt mich das weiter? Dann habe ich das da stehen: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} (\sqrt{x^2+4x+5}+x) = \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{x(4+\frac{5}{x})}{\sqrt{x(x+4)+5}-x} \end{eqnarray}$
29.04.2011, 18:58	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ganze funktioniert auch unter der Wurzel, sogar mit $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$
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29.04.2011, 19:05	otto89	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und wie? Ich komme dann auf den unbestimmten Ausdruck $\begin{eqnarray} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray}$ soll ich das dann mit L'Hospital weiter rechnen?
29.04.2011, 19:15	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte, du sollst unter der Wurzel $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ ausklammern, sodass du das ganze dann aus der Wurzel herausziehen kannst.
29.04.2011, 20:44	otto89	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} (\sqrt{x^2+4x+5}+x) = \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} (\sqrt{x^2+4x+5}+x) \frac{-x+\sqrt{5+4x+x^2}}{-x+\sqrt{5+4x+x^2}} = \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{4x+5}{\sqrt{x^2+4x+5}-x} = \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{x(4+\frac{5}{x})}{\sqrt{x^2(1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2})}-x}= \lim\limits_{x \rightarrow -\infty}\frac{x(4+\frac{5}{x})}{x(\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}}-1)} = \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{4+\frac{5}{x}}{\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}}-1}=\frac{4+0}{\sqrt{1+0+0}-1}=krr \end{eqnarray}$ Also soweit hab ichs nu - da muss nur noch ein Vorzeichenfehler drinne sein - es kommt -2 raus.. Schonmal besten Dank $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x \rightarrow -\infty}\frac{x(4+\frac{5}{x})}{-x(\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}}-1)} \end{eqnarray}$ Da ist er, oder?
30.04.2011, 11:32	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier musst du beim Ausdruck " $\begin{eqnarray} \sqrt{x^2} \end{eqnarray}$ " aufpassen, denn dein x geht hier gegen minus Unendlich, also ist $\begin{eqnarray} \sqrt{x^2} = \|x\| = -x \end{eqnarray}$ für x<0. Das heißt also $\begin{eqnarray} $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} (\sqrt{x^2+4x+5}+x) = \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} (\sqrt{x^2+4x+5}+x) \frac{\sqrt{x^2+4x+5}-x}{\sqrt{x^2+4x+5}-x} = \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{4x+5}{\sqrt{x^2+4x+5}-x} =<br /> <br /> <br /> \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{x(4+\frac{5}{x})}{\sqrt{x^2(1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2})}-x}= \lim_{x \to \infty}\frac{x(4+\frac{5}{x})}{-x\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}}-x} = \lim_{x \to \infty}\frac{4+ \frac 5 x}{-\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}}-1} = -2 \end{eqnarray}$ Streng genommen müsste man das im Zähler auch beachten, also $\begin{eqnarray} \sqrt{(x^2+4x+5)^2} = \|x^2+4x+5\| \end{eqnarray}$ Da der Ausdruck zwischen den Betragsstrichen bzw. unter der Wurzel jedoch immer positiv ist, gilt hier $\begin{eqnarray} \|x^2+4x+5\| = x^2+4x+5 \end{eqnarray}$ .

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