Vereinigung zweier Teilräume

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dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinigung zweier Teilräume
Es sei V ein Vektorraum und W und W' Teilräume von V, so dass Ein Teilraum von V ist. Zeigen Sie, es gilt .



Also ich habe mir folgendes Überlegt.

Wenn ein Element x ein Element von W aber nicht von W' und ein Element y von W' aber nicht von W wäre, dann wäre deren Verknüpfung ja weder in W noch in W' folglich auch nicht in der Vereinigung von W und W'.


Es sei und








Da die Abgeschlossenheit aber gegeben sein muss, muss eine Verknüpfung aus 2 beliebigen Elementen der Vereinigung in eben dieser sein.

Sei








Ich glaube im Prinzip sollte das ganze so stimmen aber ich muss es wohl anders aufschreiben oder?
Gerade im letzten Schritt reicht das Wohl nicht.

Ich müsste noch sagen das entweder a Element von W und W' ist (womit W eine Teilmenge von W' wäre da alle Elemente von W auch Elemente von W' wären) oder Element b Element von W' und W ist (Womit W' eine Teilmenge von W wäre, da alle Elemente in W' auch Elemente von W wären)

Aber wie drücke ich das Mathematisch aus?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinigung zweier Teilräume
Zitat:
Original von dreikommadrei
Es sei und





Deine Idee ist richtig. Du solltest aber noch direkt begründen, warum genau weder in noch in liegt. In der letzten Zeile muss außerdem die Vereinigung stehen, nicht der Schnitt. (Tippfehler?)

Zitat:
Original von dreikommadrei
Sei








Was willst Du hier aussagen? Oben hast Du gezeigt, dass der Schnitt der Komplemente leer ist. Daraus folgt schon aus mengentheoretischen Gründen, dass oder gelten muss.
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

Das Geschnitten und Vereinigung sind tatsächlich "Klick" Fehler (Tippfehler nicht ganz ^^)

dafür hab ich noch gar nicht gesehen, dass ich gezeigt habe, dass der Schnitt der Komplemente leer ist. Big Laugh
Also natürlich ist das so aber ich hab irgendwie einen Gedanken vorher noch festgesteckt. Freude

Der 2. Teil sollte halt zeigen, dass wenn eine Vereinigung in der Schnittmenge liegt, entweder beide Elemente (a und b) in dem einen oder in dem anderen Teilraum liegen müssen. Also das, was ich in meinem letzten Absatz geschrieben hatte.



"Du solltest aber noch direkt begründen, warum genau weder in noch in liegt."

Aber wie begründe ich dies?
Also mir ist es schon irgendwie klar. Nehmen wir an, dass in der eine Teilraum sämtliche Vielfache von 3 und der andere Teilraum sämtliche Vielfache von 5 hat,
3+5=8 -> nicht in dem einen oder anderen Teilraum...
Aber Beispiel ist ja bekanntlich kein Beweis...

Aber! wenn x+y in W bzw W' liegt, müsste x ja durch y+y' bzw y durch x+x' darstellbar sein. (wobei wieder y' Element von W' und x' Element von W) dies kann ich ja einfach von vorn herein ausschließen oder?

denn sonst wäre x+y=x+x+x' und das soll ja so nicht sein


der 2. Teil ist also nicht notwendig?
könnte man aber die Aufgabe eigentlich auch nur durch den Teil 2 lösen?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dreikommadrei
dafür hab ich noch gar nicht gesehen, dass ich gezeigt habe, dass der Schnitt der Komplemente leer ist. Big Laugh

Sorry, da hatte ich jetzt geschlafen. Dieser Schnitt ist trivialerweise leer. Was Du gezeigt hast, war, dass eines der beiden Komplemente bereits leer sein muss. Daraus folgt, dass eine der beiden Teilmengenbeziehungen gilt, um auch gleich noch hierauf zu antworten:
Zitat:
Original von dreikommadrei
der 2. Teil ist also nicht notwendig?
könnte man aber die Aufgabe eigentlich auch nur durch den Teil 2 lösen?


Mal Dir am besten mal Venn-Diagramme auf.

Zitat:
Original von dreikommadrei
"Du solltest aber noch direkt begründen, warum genau weder in noch in liegt."

Aber wie begründe ich dies?

Wir nehmen an . Angenommen, , was folgte dann?
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

dann folgt darauf, dass auch
und das ist ein Widerspruch zur Annahme.


Damit die Vereinigung ein neuer Teilraum ist, muss das ganze ja so http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/76/Venn_diagram_-_B_is_subset_of_A.svg
aussehen
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

geht das ganze denn so?

bin immer noch total unsicher, was das aufschreiben angeht


auf der Seite vorher steht noch:


z.z.


[attach]19438[/attach]


p.s. das bild wird lesbar, wenn man drauf klickt
 
 
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo dreikommadrei,

rechnerisch hast Du alles richtig gemacht. Allerdings solltest Du die Aussage, die Du ad absurdum annimmst, um sie in den Widerspruch zu führen, nicht als Behauptung bezeichnen. Man darf ruhig den ganzen Satz schreiben: "Wir nehmen an, die Aussage wäre falsch, also: ..." Ich würde bspw. statt "Beh. " schreiben: "Angenommen, läge in ..." usw. Außerdem wüsste ich noch gerne, was "JE"/"IE"(?) bedeuten soll. "Inverses Element"? Die Formulierung "inverses Element von " ist nicht so gut gelungen, Du solltest lieber so etwas wie "Existenz von Inversen in " oder " ist abgeschlossen unter Inversion" schreiben.

Ansonsten sieht's gut aus. smile
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort. Hat mir sehr geholfen und ist soweit geändert. smile
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