Körpererweiterung

28.04.2011, 22:48

Pascal95

Körpererweiterung

Hallo,

leider verstehe ich den Begriff der Körpererweiterung nicht (vollständig ?).

Ich beziehe mich dabei auf den oben verlinkten Artikel aus Wikipedia:

Zitat:

Ein Unterkörper eines Körpers L ist eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} K \subseteq L \end{eqnarray*}$ , die 0 und 1 enthält und mit den auf K eingeschränkten Verknüpfungen selbst ein Körper ist.

Hier schon gleich am Anfang ist mir nicht klar, was hier "eingeschränkte Verknüpfung" heißt.

Dass die Teilmenge K dann selber solche Eigenschaften besitzen soll, dass sie einen Körper bildet, ist mir klar. Aber wie ist das mit "eingeschränkte Verknüpfung" gemeint?

Ich weiß ja, dass ein Körper ein Tripel ist: außer einer Menge gibts da noch zwei innere binäre Relationen/Verknüpfungen. Hat das damit was zu tun?

Vielen Dank

28.04.2011, 23:08

Roman Oira-Oira

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RE: Körpererweiterung

Zitat:

Original von Pascal95
Hier schon gleich am Anfang ist mir nicht klar, was hier "eingeschränkte Verknüpfung" heißt.

Dass die Teilmenge K dann selber solche Eigenschaften besitzen soll, dass sie einen Körper bildet, ist mir klar. Aber wie ist das mit "eingeschränkte Verknüpfung" gemeint?

Du hast nicht ganz richtig gelesen!

Nicht die Verknüpfungen sind an sich eingeschränkt, sondern sie sind auf den Unterkörper eingeschränkt (beschränkt), d.h. nur der Unterkörper wird in diesem Fall mit den Verknüpfungen betrachtet. Ganz im selben Sinne wie z.B. bei einer Untergruppe.

Das ganze ist vielleicht etwas unglücklich ausgedrückt.

Sonst noch was?

28.04.2011, 23:16

Pascal95

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Edit:

Ach jetzt hab ichs - man da war ne Denkblockade.

Doch was bedeutet das, wenn man Verknüpfungen auf den Unterkörper beschränkt?

28.04.2011, 23:51

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Original von Pascal95
Doch was bedeutet das, wenn man Verknüpfungen auf den Unterkörper beschränkt?

Wie oben bereits gesagt: Analog zur Untergruppe!

Formal:

Sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper, $\begin{eqnarray*} U \subseteq K \end{eqnarray*}$ ein Unterkörper von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \forall x,y \in U: x+y \in U \wedge x\cdot y \in U \end{eqnarray*}$

28.04.2011, 23:58

Pascal95

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Hmm, irgendwie versteh ich die mathematischen Symbole immer besser als Text, selbst wenn er in deutsch ist.

Mal schauen ob ichs dann richtig auffasse:
Wenn U ein Unterkörper von K ist, so ist U eine Teilmenge von K, sodass für alle Elemente aus dem Unterkörper gilt, dass sie bezüglich ihrer beiden Verknüpfungen + und * wieder im Unterkörper drinne sind.

Richtig so?

Und wenn ja, wie kann man das aus dem Text entnehmen, oder hast du das von wo anders? (Ok, du wusstest es bestimmt schon so Big Laugh

)

29.04.2011, 00:02

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Original von Pascal95
Hmm, irgendwie versteh ich die mathematischen Symbole immer besser als Text, selbst wenn er in deutsch ist.

Jamei, dafür wurden sie ja schließlich auch erfunden!

Zitat:

Original von Pascal95
Mal schauen ob ichs dann richtig auffasse:
Wenn U ein Unterkörper von K ist, so ist U eine Teilmenge von K, sodass für alle Elemente aus dem Unterkörper gilt, dass sie bezüglich ihrer beiden Verknüpfungen + und * wieder im Unterkörper drinne sind.

Genau!

Vielleicht noch ein konkretes Beispiel:

Die reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind ein Unterkörper der komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Für zwei reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} x, y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x + y \in \mathbb R \wedge x \cdot y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Und ja, ich wußte es schon.

29.04.2011, 00:10

Pascal95

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Danke, you=great

Das mit Körpererweiterung C/R kannte ich schon (hab ich mir von wiki gemerkt, stand da gleich- ist wohl typisch).

Aber WIE wurden nun die Verknüpfungen auf den Unterkörper beschränkt? verwirrt

Edit: Ach, du schaust dir gerade meine Beiträge an, wo ich mich noch so doof angestellt habe Big Laugh

29.04.2011, 00:29

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Original von Pascal95
Aber WIE wurden nun die Verknüpfungen auf den Unterkörper beschränkt? verwirrt

Die Verknüpfungen werden nicht beschränkt - also im Sinne von "irgend etwas wird an ihnen verändert / eingeschränkt" oder so!

Die Verknüpfungen sind ganz einfach beschränkt! Auf den Unterkörper. Das wird nicht erzwungen, sondern man muß es nachweisen, um zu beweisen, daß es sich bei einer Menge $\begin{eqnarray*} M \subseteq K \end{eqnarray*}$ um einen Unterkörper des Körpers $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ handelt.

Du kannst froh sein, daß ich mich so in den Feinheiten der deutschen Sprache auskenne! Augenzwinkern

Und Du solltest Dich vielleicht hier mehr auf die Formeln konzentrieren und verlassen. In den Themen, die wir schon gemeinsam besprochen haben, hattest Du immer wieder derartige Verständnisprobleme, die sich aus Deiner Verwendung / Deinem Verständnis der natürlichen Sprache ergaben. Und natürlich solltest Du Dich auch zusätzlich zur Mathematik noch viel intensiver mit der Sprache beschäftigen ...

Die Verknüpfungen sind ja gegeben durch die gegebene Definition eines Körpers $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ . Nun möchte man zeigen, daß eine bestimmte Menge $\begin{eqnarray*} M \subseteq K \end{eqnarray*}$ tatsächlich ein Unterkörper von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist. Dann nimmt man eben nur Elemente aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und weist nach, daß die verknüpften Elemente immer noch in M liegen - und eben nicht in $\begin{eqnarray*} K - M \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Pascal95
Edit: Ach, du schaust dir gerade meine Beiträge an, wo ich mich noch so doof angestellt habe Big Laugh

Bis bald!

29.04.2011, 00:41

Pascal95

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Hoffentlich liest du das noch:
(wenn ich mal über das "bis bald" hinwegblicke)

Zitat:

Original von Roman Oira-Oira
Die Verknüpfungen sind ganz einfach beschränkt! Auf den Unterkörper. Das wird nicht erzwungen, sondern man muß es nachweisen, um zu beweisen, daß es sich bei einer Menge $\begin{eqnarray*} M \subseteq K \end{eqnarray*}$ um einen Unterkörper des Körpers $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ handelt.

AHA, ich glaube JETZT hab ichs: Die Verknüpfungen sind so gebaut, dass sie eben Elemente aus dem (einem möglichen) Teilkörper so verbinden, dass alles abgeschlossen ist und man in dieser Teilmenge bleibt!
Ist das dann richtig soweit?

Und kann man dann sagen: {x in Q | x=a*b , mit a aus Q, b aus Z}
ist ein Teilkörper von Q weil das eben Vielfache von a ausdrückt. Und a ist schon in Q. Dann wäre das zb a=3 : mit z=0 kommt x=0, mit z=1 kommt a=3; mit z=2 kommt 2a=6... und z=-1 kommt x=-a=-3... usw
Wenn ich mich nicht irre sollte das soweit richtig sein.

Zitat:

Original von Roman Oira-Oira
Du kannst froh sein, daß ich mich so in den Feinheiten der deutschen Sprache auskenne! Augenzwinkern

Bin ich doch.

Zitat:

Original von Roman Oira-Oira
Und Du solltest Dich vielleicht hier mehr auf die Formeln konzentrieren und verlassen. In den Themen, die wir schon gemeinsam besprochen haben, hattest Du immer wieder derartige Verständnisprobleme, die sich aus Deiner Verwendung / Deinem Verständnis der natürlichen Sprache ergaben. Und natürlich solltest Du Dich auch zusätzlich zur Mathematik noch viel intensiver mit der Sprache beschäftigen ...

Die Verknüpfungen sind ja gegeben durch die gegebene Definition eines Körpers $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ . Nun möchte man zeigen, daß eine bestimmte Menge $\begin{eqnarray*} M \subseteq K \end{eqnarray*}$ tatsächlich ein Unterkörper von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist. Dann nimmt man eben nur Elemente aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und weist nach, daß die verknüpften Elemente immer noch in M liegen - und eben nicht in $\begin{eqnarray*} K - M \end{eqnarray*}$ .

Ja, das ist mir klar (vor allem der erste Absatz Augenzwinkern

)

Danke

29.04.2011, 00:48

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Original von Pascal95
AHA, ich glaube JETZT hab ichs: Die Verknüpfungen sind so gebaut, dass sie eben Elemente aus dem (einem möglichen) Teilkörper so verbinden, dass alles abgeschlossen ist und man in dieser Teilmenge bleibt!
Ist das dann richtig soweit?

Korrekt!

Zitat:

Original von Pascal95
Und kann man dann sagen: {x in Q | x=a*b , mit a aus Q, b aus Z}
ist ein Teilkörper von Q weil das eben Vielfache von a ausdrückt. Und a ist schon in Q. Dann wäre das zb a=3 : mit z=0 kommt x=0, mit z=1 kommt a=3; mit z=2 kommt 2a=6... und z=-1 kommt x=-a=-3... usw
Wenn ich mich nicht irre sollte das soweit richtig sein.

Heute schau ich mir das nicht mehr an - sorry!

Muß in 4 Stunden wieder aufstehen und etwas für's Geld tun - und dazu muß ich mich jetzt erstmal hinlegen (elementare Logik,oder?)

Ich schau morgen noch mal drüber!

Hat wieder Spaß gemacht!
Ciao!

29.04.2011, 00:55

Pascal95

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Na dann will ich dich mal nicht aufhalten.
Hättest du auch sagen könen, das würde ich doch respektieren.

Naja, dann gute Nacht und bis morgen und vielen Dank, dass du deine Zeit geopfert hast, obwohl du schon bal wieder raus musst Respekt

29.04.2011, 15:37

Pascal95

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Ich glaube meine Idee mit der Körpererweiterung von Q war auch nicht ganz richtig.
Da war ich wohl schon müde, als ich das geschrieben habe.

Ein anderes ähnliches Beispiel fällt mir gerade nicht ein.

Bei dem Versuch mit Q habe ich vergessen, dass auch * eine innere Verknüpfung auf dem Unterkörper sein muss. Das wäre ja z.B. für a=1/2 NICHT der Fall, da die Multiplikation nicht abgeschlossen ist: 1/2 * 1/2 = 1/4 und nicht in dieser Teilmenge enthalten, also ist die Verknüpfung * nicht abgeschlossen unglücklich

29.04.2011, 19:29

Roman Oira-Oira

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Hallo - ich bin wieder da!
Grüß Dich!

Zitat:

Original von Pascal95
{x in Q | x=a*b , mit a aus Q, b aus Z}
ist ein Teilkörper von Q weil das eben Vielfache von a ausdrückt. Und a ist schon in Q. Dann wäre das zb a=3 : mit z=0 kommt x=0, mit z=1 kommt a=3; mit z=2 kommt 2a=6... und z=-1 kommt x=-a=-3... usw
Wenn ich mich nicht irre sollte das soweit richtig sein.

Ich glaube, dieses Beispiel ist Blödsinn!

Nennen wir die von Dir definierte Menge mal $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ . Dann gilt meiner Meinung nach (wenn ich mich nicht sehr irre!) $\begin{eqnarray*} U = \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Da ist ja wohl nicht mehr viel übrig von einem Unterkörper! Versuch das einfach mal nachzuvollziehen, indem Du $\begin{eqnarray*} U = \mathbb Q \end{eqnarray*}$ zeigst, indem Du $\begin{eqnarray*} U \subseteq \mathbb Q \wedge \mathbb Q \subseteq U \end{eqnarray*}$ beweist.

29.04.2011, 20:14

Pascal95

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Ja, du hast recht.

Das Beispiel war von mir übringens auch anders gedacht, und zwar mit einem festen $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ variabel.
Dass es sich dabei NICHT um einen Unterkörper handelt, habe ich auch schon verbessert und zwar weil die Menge bzgl. der Multiplikation nicht abgeschlossen ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ zeigt ja, dass man Elemente aus der Menge multiplikativ kombinieren kann, sodass dabei ein Element entsteht, dass eben nicht mehr in der Teilmenge enthalten ist, aus der der Körper bestehen sollte.

(Bezüglich der Addition wäre aber alles in Ordnung.)

Ich glaube du hast das so verstanden, dass $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ beide variabel sind, und dann daraus die Menge entsteht.
Dabei wäre diese Menge $\begin{eqnarray*} U = \left\{ x \ | \ a \cdot b \ , \ a \in \mathbb Q, b \in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} U = \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ), weil man schon für $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ hätte!

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