Bewegungsgruppe der Ebene

28.04.2011, 20:52	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
Bewegungsgruppe der Ebene Sei B die Bewegungsgruppe der Ebene. Zu zeigen ist, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} B \rightarrow \{1,s\} \end{eqnarray}$ , welche die Bewegung $\begin{eqnarray} t_a d_\phi \end{eqnarray}$ auf 1 und die Bewegung $\begin{eqnarray} t_a d_\phi s \end{eqnarray}$ auf s abbildet ein Homorphismus ist. Ein Homomorphimus ist ja eine strukturerhaltende Abbildung. Bei der gilt $\begin{eqnarray} \phi(a \oplus b)=\phi(a)\odot\phi(b) \end{eqnarray}$ Aber was ist denn überhaupt die Struktur? Was für eine Verknüpfung gilt auf den Bewegungsgruppen der Ebene und was für eine auf $\begin{eqnarray} \{1,s\} \end{eqnarray}$ Wäre sehr froh um Hilfe. Vielen Dank!
28.04.2011, 21:06	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Es steht ja schon da, dass man $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ als Gruppe betrachtet. Als Verknüpfung ist hierbei die Hintereinanderausführung von Abbildungen gemeint. Ich rate mal, dass $\begin{eqnarray} t_a \end{eqnarray}$ die Translation um den Vektor $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} d_\varphi \end{eqnarray}$ die Drehung am Nullpunkt um den Winkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ die Spiegelung an einer Koordinatenachse (z.B. $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse) sein soll. Die Menge $\begin{eqnarray} \{ 1 ,s \} \end{eqnarray}$ hat zwei Elemente und daher existiert auf ihr nur genau eine Gruppenstruktur: $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ ist das neutrale Element und $\begin{eqnarray} s^2 = 1 \end{eqnarray}$ (was ja auch konsistent mit der Geometrie ist). Ihr solltet mal den Satz gelernt haben, dass sich jede Bewegung von $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ darstellen lässt als $\begin{eqnarray} t_a d_\varphi \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} t_a d_\varphi s \end{eqnarray}$ . Durch die Angaben wird also tatsächlich eine Abbildung definiert. Jetzt musst Du eben die Homomorphismus-Eigenschaft nachrechnen.
28.04.2011, 21:24	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Danke. Ja, sorry, hab' vergessen aufzuschreiben, was $\begin{eqnarray} t_a,d_\phi, s \end{eqnarray}$ sind. Aber du hast es richtig "erraten". Ja, den Satz haben wir bewiesen, dass jede Bewegung entweder $\begin{eqnarray} t_a d_\phi \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} t_a d_\phi s \end{eqnarray}$ ist. Ich bezeichne die Abbildung von B nach {1,s} jetzt mal mit f. Die Multiplikation scheint ja offenbar die Verknüpfung auf {1,s} zu sein. Zu zeigen wäre also: $\begin{eqnarray} f(t_a d_\phi \circ t_a d_\phi s)=f(t_a d_\phi) \cdot f(t_a d_\phi s) \end{eqnarray}$ Da wir aber gesagt haben, dass $\begin{eqnarray} f(t_a d_\phi)=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(t_a d_\phi s)=s \end{eqnarray}$ , gilt also: $\begin{eqnarray} f(t_a d_\phi) \cdot f(t_a d_\phi s)=s \end{eqnarray}$ Jetzt müsste ich bloss noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} f(t_a d_\phi \circ t_a d_\phi s)=s \end{eqnarray}$ gilt. Wie kann ich das zeigen, hättest du mir einen Tipp?

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