Faktorisieren von Brüchen

28.04.2011, 23:47

chillerStudent

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Faktorisieren von Brüchen

Hallo,

ich habe folgendes Polynom und muss die komplexen Nullstellen finden:

$\begin{eqnarray*} 2z^3-5z^2-5z+2 \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass ein eine Nullstelle -1 ist. In Faktorform (x+1)

Die zweite und die dritte Nullstelle ist $\begin{eqnarray*} \pm\frac{7\sqrt{33} }{4} \end{eqnarray*}$

Wie faktorisiere ich die zwei Nullstellen? genua so, $\begin{eqnarray*} (x-\frac{7\sqrt{33} }{4} ) \end{eqnarray*}$

29.04.2011, 00:16

greeven

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Pq formel

29.04.2011, 00:19

chillerStudent

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hab doch alles mit pq formel gemacht ??!!

29.04.2011, 00:23

greeven

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ja sorry. hab grad was getestet.

Du hast drei Nullstellen und mehr wirst du auch nicht finden.

Die sind halt reell.
Also Elemente der reellen Zahlen, welche Teilmenge der komplexen Zahlen sind.

Reelle Nullstellen sind auch komplexe Nullstellen.

29.04.2011, 00:25

chillerStudent

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Meine Frage war, wie kann ich diese in faktorisierter from schreiben?

29.04.2011, 00:25

greeven

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Und warum willst du eigentlich faktorisieren?

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29.04.2011, 00:29

chillerStudent

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hehe, die Aufgabe lautet so smile

smile

29.04.2011, 00:40

chillerStudent

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darf man das so in factor form schreiben:

$\begin{eqnarray*} (z+1)(z^2-7z+2) \end{eqnarray*}$

??

29.04.2011, 00:42

greeven

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Wolfram hilft.

Das Stichwort ist hier wohl "Polynomdivision".

Wie bist du denn auf die z + 1 gekommen?

29.04.2011, 00:44

greeven

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"Faktorform" würde ich jetzt mal so interpretieren, dass der "Term" ja ne Summe ist und zu einem Produkt gemacht werden soll.

Deshalb denke ich: ja.

29.04.2011, 01:57

juffo-wup

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RE: Faktorisieren von Brüchen

Zitat:

Original von chillerStudent
Wie faktorisiere ich die zwei Nullstellen? genua so, $\begin{eqnarray*} (x-\frac{7\sqrt{33} }{4} ) \end{eqnarray*}$

Du faktorisierst keine Nullstellen, sondern das Polynom. Und du hast die Nullstellen nicht richtig berechnet.
Wenn a,b,c die Nullstellen sind, gilt
$\begin{eqnarray*} 2z^3-5z^2-5z+2=2(z-a)(z-b)(z-c) \end{eqnarray*}$

30.04.2011, 20:18

chillerStudent

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Zitat:

Original von greeven
Wolfram hilft.

Das Stichwort ist hier wohl "Polynomdivision".

Wie bist du denn auf die z + 1 gekommen?

Auf z+1 bin ich gekommen, weil eine nullstelle -1 ist.

30.04.2011, 22:04

chillerStudent

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Zitat:

Original von chillerStudent
darf man das so in factor form schreiben:

$\begin{eqnarray*} (z+1)(z^2-7z+2) \end{eqnarray*}$

??

Ist diese faktorisierung richtig?

30.04.2011, 22:29

greeven

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Fast. Du kannst schonmal eine Nullstelle ablesen. Mit der pq Formel bekommst du nun noch die anderen Nullstellen heraus und kannst die zweite Klammer dann durch zwei andere ersetzen bei denen man auch die zweite und dritte Nullstelle ablesen kann.

Das ist auch das Ziel. Alle Nullstellen - hier also drei - soll man ablesen koennen.

Weisst was ich meine?

01.05.2011, 10:26

chillerStudent

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RE: Faktorisieren von Brüchen

Zitat:

Original von chillerStudent
Hallo,

ich habe folgendes Polynom und muss die komplexen Nullstellen finden:

$\begin{eqnarray*} 2z^3-5z^2-5z+2 \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass ein eine Nullstelle -1 ist. In Faktorform (x+1)

Die zweite und die dritte Nullstelle ist $\begin{eqnarray*} \pm\frac{7\sqrt{33} }{4} \end{eqnarray*}$

Wie faktorisiere ich die zwei Nullstellen? genua so, $\begin{eqnarray*} (x-\frac{7\sqrt{33} }{4} ) \end{eqnarray*}$

So ??

01.05.2011, 10:42

Shalec

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Dir ist eine Summenform des Polynoms gegeben, gesucht ist die Faktorform, diese ist generell so zu schreiben:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_ix^i = \prod\limits_{i=0}^{n} (x-x_i) \end{eqnarray*}$

Wobei im Produkt gerade die Nullstellen des Polynoms anstelle der "x_i" eingesetzt werden.

(Die Nullstellen lassen sich sortieren, in IR, in IC siehts da bissl anders aus, dort kannst du sie nur Unterscheiden und eine willkürliche Ordnung einführen (Anordnungsaxiom gilt nicht im Komplexen)).

In Deinem Fall sieht das dann so aus:

$\begin{eqnarray*} 2z^3-5z^2-5z+2 = (x+1)\cdot (x-\frac{7\sqrt{33}%20}{4})\cdot (x+\frac{7\sqrt{33}%20}{4}) \end{eqnarray*}$

insofern deine Nullstellen richtig berechnet wurden.

Dieses Verfahren wurde mir in Schulzeiten von meinem Lehrer beigebracht um mir "Klausur-übungsaufgaben" zu konstruieren Big Laugh

Big Laugh

Sehr praktisch, wenn du die Lösung schon vorher kennst und diese Aufgaben dann auf deine Nachhilfeschüler loslassen kannst ;D
Im allgemeinen ist dies auch für die Betrachtung von Matrizen eine praktische Form (siehe das Charakteristische Polynom einer Matrix oder eines Endomorphismus, dort bekommst du über die Determinante eine Summenform (idR) und kannst diese durch die Nullstellenbetrachtung in Produktform zerlegen, wodurch du dann sehr fix die Eigenwerte ablesen kannst und auch anhaltspunkte für dein minimalpolynom sammelst...aber das werdet ihr wohl erst noch haben smile

smile

)

01.05.2011, 11:29

chillerStudent

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Zitat:

Original von Shalec

In Deinem Fall sieht das dann so aus:

$\begin{eqnarray*} 2z^3-5z^2-5z+2 = (x+1)\cdot (x-\frac{7\sqrt{33}%20}{4})\cdot (x+\frac{7\sqrt{33}%20}{4}) \end{eqnarray*}$

insofern deine Nullstellen richtig berechnet wurden.

Dieses Verfahren wurde mir in Schulzeiten von meinem Lehrer beigebracht um mir "Klausur-übungsaufgaben" zu konstruieren Big Laugh

Big Laugh

Sehr praktisch, wenn du die Lösung schon vorher kennst und diese Aufgaben dann auf deine Nachhilfeschüler loslassen kannst ;D
Im allgemeinen ist dies auch für die Betrachtung von Matrizen eine praktische Form (siehe das Charakteristische Polynom einer Matrix oder eines Endomorphismus, dort bekommst du über die Determinante eine Summenform (idR) und kannst diese durch die Nullstellenbetrachtung in Produktform zerlegen, wodurch du dann sehr fix die Eigenwerte ablesen kannst und auch anhaltspunkte für dein minimalpolynom sammelst...aber das werdet ihr wohl erst noch haben smile

smile

)

Danke dir. Wollte nur diese Bestätigung des faktorisierungs haben. Und übrigens: Hab das schon durch mit Charakteristischem Polynom Augenzwinkern

Augenzwinkern

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