Wahrscheinlichkeiten mit Verteilungsfunktion berechnen

29.04.2011, 10:17

schweizerkäse

Wahrscheinlichkeiten mit Verteilungsfunktion berechnen

Meine Frage:
Gegeben sei folgende Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} F_{x}(x) = \end{eqnarray*}$

0 , wenn $\begin{eqnarray*} x < -1 \end{eqnarray*}$
0.1 , wenn $\begin{eqnarray*} -1 \leq x < 2 \end{eqnarray*}$
0.32 , wenn $\begin{eqnarray*} 2\leq x < 2.5 \end{eqnarray*}$
0.4 , wenn $\begin{eqnarray*} 2.5 \leq x < 4 \end{eqnarray*}$
0.66 , wenn $\begin{eqnarray*} 4 \leq x < 6 \end{eqnarray*}$
0.8 , wenn $\begin{eqnarray*} 6 \leq x < 7.5 \end{eqnarray*}$
0.95 , wenn $\begin{eqnarray*} 7.5 \leq x < 8 \end{eqnarray*}$
1 , wenn $\begin{eqnarray*} 8 \leq x \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten

$\begin{eqnarray*} 1. P(X \in [2,6]) 2. P(X \in (2,4)) 3. P(X > 4) 4. P(X \geq 6) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} 1. P(X \in [2,6]) = P(2 \leq X \leq 6) = F_{x}(6) - F_{x}(2) = 0.8 - 0.32 = 0.48 2. P(X \in (2,4)) = P(2 < X < 4) = F_{x}(4) - F_{x}(2) = 0.4 -0.1 = 0.3 3. P(X > 4) = P(X \in (4,8) = P(4 < X < 8) = F_{x}(8) - F_{x}(4) = 1 - 0.66 = 0.34 4. P(X \geq 6) = P(X \in [6,8] = P(6 \leq X \leq 8) = F_{x}(8) - F_{x}(6) = 1 - 0.8 = 0.2 \end{eqnarray*}$

Ich denke 1. und 2. müssten so richtig sein oder ? Aber habe ich das dann bei 3. und 4. so richtig interpretiert ?

29.04.2011, 11:39

Math1986

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RE: Wahrscheinlichkeiten mit Verteilungsfunktion berechnen
1) ist richtig
2) ist nicht richtig, $\begin{eqnarray*} P(2 < X < 4) \neq P(2 \leq X \leq 4) \end{eqnarray*}$
Du musst hier die Limiten für $\begin{eqnarray*} x\to 2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x\to 4 \end{eqnarray*}$ betrachten
3) ist so auch verkehrt. Betrachte die Gegenwahrscheinlichkeit des gesuchten Ereignisses
4) Falsch, siehe 3) und 2)

29.04.2011, 11:51

schweizerkäse

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RE: Wahrscheinlichkeiten mit Verteilungsfunktion berechnen
meinst das bei 2. dann so

$\begin{eqnarray*} P(X\in(2,4)) = P(2 < x < 4) = \lim_{x \to 4} x -\lim_{x \to 2} x = 0.66 - 0.32 = 0.34 \end{eqnarray*}$

?

29.04.2011, 12:07

Math1986

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RE: Wahrscheinlichkeiten mit Verteilungsfunktion berechnen

Zitat:

Original von schweizerkäse
meinst das bei 2. dann so

$\begin{eqnarray*} P(X\in(2,4)) = P(2 < x < 4) = \lim_{x \to 4} x -\lim_{x \to 2} x = 0.66 - 0.32 = 0.34 \end{eqnarray*}$

?

Nein
$\begin{eqnarray*} P(X\in(2,4)) = P(2 < x < 4) = \lim_{x \to 4} F(x) -\lim_{x \to 2} F(x) \end{eqnarray*}$
Es ist dabei
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4} F(x)=0,4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} F(x)=0,32 \end{eqnarray*}$
Die Stellen 2 und 4 sind Unstetigkeitsstellen, daher die obige Grenzwertbetrachtung für $\begin{eqnarray*} x\in(2,4) \end{eqnarray*}$

29.04.2011, 12:13

schweizerkäse

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RE: Wahrscheinlichkeiten mit Verteilungsfunktion berechnen
ah ok

und dann zu 3. und 4.

$\begin{eqnarray*} 3. P(X>4) = 1 - P(X>4)^{c} = 1 - P(X \leq 4) = 1 - \lim_{x \to 4} F(x) = 1 - 0.4 = 0.6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4. P(X\geq 6) = 1 - P(X\geq 6)^{c} = 1 - P(X<6) = 1 - \lim_{x \to 6} F(x) = 1 - 0.66 = 0.34 \end{eqnarray*}$

30.04.2011, 16:46

schweizerkäse

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RE: Wahrscheinlichkeiten mit Verteilungsfunktion berechnen
war das jetzt so richtig ?

30.04.2011, 17:12

Math1986

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RE: Wahrscheinlichkeiten mit Verteilungsfunktion berechnen

Zitat:

Original von schweizerkäse
$\begin{eqnarray*} 3. P(X>4) = 1 - P(X>4)^{c} = 1 - P(X \leq 4) = 1 - \lim_{x \to 4} F(x) = 1 - 0.4 = 0.6 \end{eqnarray*}$

Hier brauchst du den Limes nicht zu betrachten.
Den Limes betrachtest du nur dann wenn du eine offene Grenze hast, wenn also der Randwert nicht mehr im gesuchen Intervall liegt.
Richtig ist also
$\begin{eqnarray*} 3. P(X>4) = 1 - P(X>4)^{c} = 1 - P(X \leq 4) = 1 - F(4)= 1 - 0.66 = 0.34 \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 4. P(X\geq 6) = 1 - P(X\geq 6)^{c} = 1 - P(X<6) = 1 - \lim_{x \to 6} F(x) = 1 - 0.66 = 0.34 \end{eqnarray*}$

Richtig - hier musst du den Limes betrachten weil 6 selbst nicht mehr betrachtet wird

01.05.2011, 07:50

schweizerkäse

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RE: Wahrscheinlichkeiten mit Verteilungsfunktion berechnen

Zitat:

Original von Math1986
Richtig ist also
$\begin{eqnarray*} 3. P(X>4) = 1 - P(X>4)^{c} = 1 - P(X \leq 4) = 1 - F(4)= 1 - 0.66 = 0.04 \end{eqnarray*}$

ich nehme mal an, du hast dich hier nur beim ergebnis vertippt oder ?
denn 1 - 0.66 = 0.34
dann sind allerdings die ergebnisse von 3. und 4., also P(X>4) und P(X>=6) gleich, kann das denn stimmen?

01.05.2011, 08:26

Math1986

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RE: Wahrscheinlichkeiten mit Verteilungsfunktion berechnen

Zitat:

Original von schweizerkäse

Zitat:

Original von Math1986
Richtig ist also
$\begin{eqnarray*} 3. P(X>4) = 1 - P(X>4)^{c} = 1 - P(X \leq 4) = 1 - F(4)= 1 - 0.66 = 0.04 \end{eqnarray*}$

ich nehme mal an, du hast dich hier nur beim ergebnis vertippt oder ?
denn 1 - 0.66 = 0.34

Ja, natürlich

Zitat:

Original von schweizerkäse
dann sind allerdings die ergebnisse von 3. und 4., also P(X>4) und P(X>=6) gleich, kann das denn stimmen?