Messbarkeit einer Abbildung für Sigma - Algebra

29.04.2011, 13:02

schweizerkäse

Messbarkeit einer Abbildung für Sigma - Algebra

Meine Frage:
(Ich schreibe einfach mal "O" für Omega, weil ich nicht weiß, wie man das Zeichen macht.)

Also:

Sei O = {1,2,3,4} und X: O -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$
eine Abbildung gegeben durch

X(w) =

1, für w = 1,
5, für w = 2,
-1, für w = 3,
-1, für w = 4.

Für welche der folgenden Sigma - Algebren ist X messbar? Begründen Sie die Antwort.

A = {{leere Menge}, {1,2,3,4}}
A = P(O)
A = {{leere Menge}, {1,2,3,4}, {1}, {1,3,4}, {2}, {2,3,4}, {1,2}, {3,4}}

Meine Ideen:
Ich weiß, dass

eine Abbildung $\begin{eqnarray*} X: O -> \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X: w \in O -> X(w)\in O' \end{eqnarray*}$

heißt A-B messbar

<=>

für alle B $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} X^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ := { $\begin{eqnarray*} w \in O; X(w) \in B \end{eqnarray*}$ } $\begin{eqnarray*} \in A. \end{eqnarray*}$

Ich verstehe allerdings nicht so ganz was dieses B ist. Also das ist ja an sich auch eine Sigma Algebra oder ? Aber ich habe keine Ahnung, was ich mir darunter vorstellen soll ..

29.04.2011, 13:16

Mazze

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Zitat:

(Ich schreibe einfach mal "O" für Omega, weil ich nicht weiß, wie man das Zeichen macht.)

Latexcode für großes Omega : \Omega (intuitiv oder ? )

kleines Omega : \omega

Zitat:

Ich verstehe allerdings nicht so ganz was dieses B ist. Also das ist ja an sich auch eine Sigma Algebra oder ?

Genauer : Für jedes Element der Bildsigmalagebra soll auch dass Urbild dieses Elementes in der Sigmaalgebra der Urbildmenge liegen.

Kurze Frage : Welche Bildsigmaalgebra B betrachtest Du überhaupt? Borelmengen auf R ?

29.04.2011, 13:24

Math1986

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RE: Messbarkeit einer Abbildung für Sigma - Algebra
Das ist auch nicht die korrekte Definition:

Seien $\begin{eqnarray*} \left(\Omega_1,\mathcal A_1\right),\left(\Omega_1,\mathcal A_2\right) \end{eqnarray*}$ Meßräume
Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} X\colon \Omega_1 \to\Omega_2 \end{eqnarray*}$ heißt A-B messbar wenn
$\begin{eqnarray*} \forall A \in A_2\colon X^{-1}(A) := \left\{\omega \in \Omega_1\colon X(w) \in A\right\} \in \mathcal A_1 \end{eqnarray*}$

Kurz: X ist meßbar, wenn die Urbilder meßbarer Mengen wiederum meßbar sind, und genau das ist auch zu zeigen

Bitte in Zukunft ordentlich schreiben!

29.04.2011, 13:26

schweizerkäse

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ja stimmt hätte man drauf kommen können

ja es sind schon Borelmengen auf R gemeint, zumindest steht das so im skript
aber wie gesagt, ich verstehe nicht, was das bedeutet

29.04.2011, 13:28

schweizerkäse

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könnt ihr mir vielleicht noch einen tipp geben, wie man das zeigt?

29.04.2011, 13:29

Mazze

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Naja, es sei $\begin{eqnarray*} B \in \mathfrak{B} \end{eqnarray*}$ eine Borelmenge. Ist dann

$\begin{eqnarray*} X^{-1}(B) \in \{\emptyset,\{1,2,3,4\}\} \end{eqnarray*}$

? Muss man eventuel spezielle Borelmengen anschauen?

@ Math1986 : Vielen dank für die Korrektur!

29.04.2011, 13:31

Math1986

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Zitat:

Original von schweizerkäse
könnt ihr mir vielleicht noch einen tipp geben, wie man das zeigt?

Du bestimmst einfach die Urbilder unter den meßbaren Abbildungen (es genügt, dies für die Erzeugendensysteme zu zeigen) und prüfst ob diese auch in der zugrundeliegenden Sigma-Algebra liegen

29.04.2011, 13:36

schweizerkäse

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Jedes Intervall (a, b] mit a und b aus den reellen Zahlen ist eine Borel-Menge. Wenn man 2 Borel-Mengen vereinigt, schneidet oder die Differenz bildet ist das wieder eine Borel-Menge. Genauso ist das Komplement einer Borel-Menge selbst wieder eine Borel-Menge.

Wenn das so sein soll, kann denn dann nicht irgendwie jede menge eine borelmenge sein?

29.04.2011, 13:44

Math1986

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Zitat:

Original von schweizerkäse
Jedes Intervall (a, b] mit a und b aus den reellen Zahlen ist eine Borel-Menge. Wenn man 2 Borel-Mengen vereinigt, schneidet oder die Differenz bildet ist das wieder eine Borel-Menge. Genauso ist das Komplement einer Borel-Menge selbst wieder eine Borel-Menge.

Wenn das so sein soll, kann denn dann nicht irgendwie jede menge eine borelmenge sein?

So ziemlich jede Menge, die man sich bildlich vorstellen kann, ist eine Borel-Menge.

Man kann jedoch die Existenz von Nicht-Borel-Mengen zeigen, das ist allerdings ein sehr, sehr theoretischer Beweis, weswegen dir Nicht-Borel-Mengen im Alltag nicht begegnen werden smile

29.04.2011, 13:47

schweizerkäse

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das würde ja bedeuten dass meine 3 algebren auch borelmengen sind und damit X für alle 3 auch messbar ist

nur das muss ich noch nachweisen

29.04.2011, 13:50

Math1986

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Zitat:

Original von schweizerkäse
das würde ja bedeuten dass meine 3 algebren auch borelmengen sind

Nein.
Borel-Mengen sind auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^d \end{eqnarray*}$ definiert.
Deine 3 Algebren sind auf $\begin{eqnarray*} \Omega= \left\{1,2,3,4\right\} \end{eqnarray*}$ definiert

Du nimmst dir einfach einen Erzeuger der Borel-Algebra - die Menge (a, b] mit a und b aus den reellen Zahlen beispielsweise - und bestimmst deren Urbilder

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