menge aller komplexen zahlen

29.04.2011, 14:59

Tim1985

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menge aller komplexen zahlen

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich komme bei folgender Aufgabe nicht zurecht, kann mir jemand helfen, oder zumindest einen Ansatz geben?
Grüße Tim

Man bestimme die Menge aller z mit folgender Eigenschaft:

0 < arg(z + i) < 2/3pi ?

und zeichne eine Skizze in der Gaußschen Ebene.

Meine Ideen:
...

29.04.2011, 15:02

Mazze

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Wie ist denn $\begin{eqnarray*} \arg(z) \end{eqnarray*}$ für eine komplexe Zahl z definiert?

29.04.2011, 15:19

Tim1985

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meinst du es so:

Winkel, den die positive reelle Achse und der Zeiger z einschließen?

29.04.2011, 15:21

Mazze

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Naja, um die Aufgabe zu lösen, musst Du ja zunächst ertsmal wissen, was $\begin{eqnarray*} \arg(z) \end{eqnarray*}$ ist. Wenn Du das weißt bestimmst Du $\begin{eqnarray*} \arg(z + i) \end{eqnarray*}$ und schaust , welche Winkel die Ungleichung erfüllen.

Aber ja , Das ist schon der richtige Winkel. Wie bestimmt man ihn?

29.04.2011, 15:29

Tim1985

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z=x+yi mit z ungleich 0

der Betrag von z ergibt den Radius und dann kann ich über den Satz von Pytagoras mein Argument ausrechnen.

z.b.
arg(z) = arccos(x/r)

29.04.2011, 15:33

Mazze

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Ok, jetzt hast Du die komplexe Zahl

$\begin{eqnarray*} z + i \end{eqnarray*}$

wie sieht davon das Argument aus?

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29.04.2011, 15:44

Tim1985

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also mein Ansatz wäre folgender:

z+i = x+yi

z = x+yi-i

z = x+(y-1)i

danach Radius bestimmen und wieder auf arg(z) umstellen?

29.04.2011, 15:48

Mazze

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Was rechnest Du da ? Richtig ist :

$\begin{eqnarray*} z + i = x + yi + i = x + (y + 1)i \end{eqnarray*}$

Zitat:

danach Radius bestimmen und wieder auf arg(z) umstellen?

Ja!

29.04.2011, 16:01

Tim1985

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Ok, also ich komme auf folgendes Ergebnis:

arg (z+i) = arccos (cos(phi))

Ich hab jetzt einfach einmal phi = 0 und phi = 120 eingesetzt, die Ergebnisse müssten dann die Menge meiner Zahlen seien, also zwischen 0 - 120, oder?

29.04.2011, 16:06

Mazze

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Also ich komme auf

$\begin{eqnarray*} \arg(z + i) = \arccos\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}}\right) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} (y + 1) > 0 \end{eqnarray*}$ . Wie siehts für $\begin{eqnarray*} (y + 1) < 0 \end{eqnarray*}$ aus?

Und dann sind alle (x,y) zu finden, so dass die Ungleichung erfüllt ist.

29.04.2011, 16:16

Tim1985

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Sorry,
ich schein einfach doof zu sein, aber ich komm hier kein Stück weiter...

29.04.2011, 16:22

Mazze

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Naja, für $\begin{eqnarray*} (y+1) < 0 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} \arg(z + i) = -\arccos\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}}\right) \end{eqnarray*}$

Zeichen es dir mal auf ! Wie auch immer, wir haben also für (y + 1) > 0 die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 0 < \arccos\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}}\right) < \frac{2}{3}\pi \end{eqnarray*}$

Jetzt überlege Dir : Wo ist der Arccuscosinus definiert ? Wann wird der Arcuscosinus > 0 und was muss dann für den Term innerhalb dessen gelten?

29.04.2011, 16:32

Tim1985

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definiert ist der arccos von -1 bis 1, wobei arccos(<1) >0 wird.

also muss ich auf arccos(-0,5) = 120
und arccos(1) = 0 kommen...

29.04.2011, 16:37

Mazze

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Auf dem ganzen Definitionsbereich des Arcuscosinus ist dieser also > 0 (bis auf einen Punkt). Sprich :

Für alle (x,y) mit $\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}} \in [-1,1) \end{eqnarray*}$ gilt die Linke Seite der Ungleichung. Jetzt wären also alle (x,y) zu finden, so dass

$\begin{eqnarray*} -1 \leq \frac{x}{\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}} < 1 \end{eqnarray*}$ gilt.

edit : Kleine Korrektur des Punktes, an dem der Arcuscosinus 0 wird.

29.04.2011, 16:50

Tim1985

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ich hab echt meinen Kopf verloren, ich hab keine Ahnung was ich wie machen muss, ich hab irgendwie was mit y =< -1 ausgerechnet und dann hat sich aber das x selber weggekürzt...

29.04.2011, 16:54

Mazze

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Also, wir sind ja immernoch beim Fall $\begin{eqnarray*} (y + 1) > 0 \end{eqnarray*}$ , wir wissen also schon dass $\begin{eqnarray*} y > -1 \end{eqnarray*}$ ist. Daher ergibt das was Du da ausgerechnet hast nicht wirklich Sinn.

Zeige dass $\begin{eqnarray*} |x| < \sqrt{x^2 + (y + 1)^2} \end{eqnarray*}$ gilt. Was Hilft dir das ?

29.04.2011, 17:01

Tim1985

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sorry ich gebe auf, ich hab im moment wirklich von nichts irgendetwas verstanden, leider muss ich jetzt auch arbeiten gehen, deswegen versuche ich es irgendwie am sonntag nochmal, muss die pflichtaufgabe montag abgeben, hoffe dass es bis dahin noch irgendwie hinbekomme, aber danke für deine mühe und sorry dass ich es einfach nicht verstehe.
gruß tim

01.05.2011, 12:26

Garen

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Wenn man die Gleichung umstellt, erhält man:

0<(y+1)² -->

Aber was bringt uns das?

01.05.2011, 12:46

Mazze

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Offensichtlich gilt

$\begin{eqnarray*} |x| < \sqrt{x^2 + (y + 1)^2} \Leftrightarrow -1 < \frac{x}{\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}} < 1 \end{eqnarray*}$

macht euch das mal klar,

und daraus folgt, dass die Linke Seite der Ungleichung für alle x,y mit (y + 1) > 0 gilt. Sprich, nur die Rechte is genauer zu betrachten. Aber wie gesagt, dafür muss obige Ungleichung erstmal gezeigt werden. (Was nahezu trivial ist)

01.05.2011, 13:08

Garen

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x<(x²+(y+1)²)^1/2 l ²
x²<x²+(y+1)² l -x²
0<(y+1)² gilt wenn y>-1

Ist es damit bewiesen?

01.05.2011, 13:27

Mazze

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Da beide Seiten größer als 0 sind geht das. Ich hätte einfach

$\begin{eqnarray*} |x| = \sqrt{x^2} < \sqrt{x^2 + (y + 1)^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (y + 1) > 0 \end{eqnarray*}$

gemacht.

edit :

Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 0 < (y + 1)^2 \end{eqnarray*}$ gilt übrigens sogar für $\begin{eqnarray*} |y| > -1 \end{eqnarray*}$ . Das kann später nochma genutzt werden.

01.05.2011, 13:51

Garen

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WIe komm ich jetzt weiter. wir haben uns doch bloß den Deninitionsbereich der arccos Funktion angeschaut.

Wofür brauch ich das, wenn doch die Menge aller z wissen möchte.

Ich muss doch mit 0<arccos(...)<2/3pi weiter rechnen.

01.05.2011, 13:55

Mazze

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Lest ihr was ich schreibe ? Wir haben gesagt, dass der Arcuscosinus auf seinem Definitionsbereich, bis auf die 1, stets größer 0 ist. Also haben wir geschaut welche Zahlen eingesetzt in den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}} \end{eqnarray*}$

zwischen -1 und 1 liegen, und haben festgestellt, dass für $\begin{eqnarray*} (y + 1) > 0 \end{eqnarray*}$ alle Zahlenpaare (x,y) für $\begin{eqnarray*} (y + 1) > 0 \end{eqnarray*}$ zwischen -1 und 1 liegen. Sprich, für

$\begin{eqnarray*} (y + 1) > 0 \end{eqnarray*}$

gilt die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 0 < \arccos\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + (y+1)^2}}\right) \end{eqnarray*}$

für alle (x,y). Jetzt ist also noch

$\begin{eqnarray*} \arccos\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + (y+1)^2}}\right) < \frac{2}{3}\pi \end{eqnarray*}$

für (y + 1 ) > 0 zu lösen. Dann ist Fall 1 fertig.

01.05.2011, 14:34

Garen

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Kannst du mir einen tipp oder ne rechenregel geben die mir hilft die Ungleichung zu lösen.

Fällt mir unheimlich schwierig jetzt mit diesem term zu rechnen.

01.05.2011, 15:27

Mazze

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Du machst das selbewie vorher. Du schaust Dir an wann der Arcuscosinus kleiner als 2/3 pi ist. Du bekommst dann eine Menge und musst dann schauen, für welche x/y der Term im Arcuscosinus Argument in der Menge liegt.

01.05.2011, 16:49

Tim1985

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gut dann hier:

Seien a und b reelle Zahlen. Welche Menge komplexer Zahlen wird beschrieben durch:

ae^-ti+be^ti , t Element von R?

Kann mir hier eventuell jemand weiter helfen?

ich habe die Gleichung jetzt erstmal umgestellt, sieht bei mir jetzt so aus:

z = (b-a) e^ti

01.05.2011, 16:52

Mazze

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Habe den anderen Thread wieder aufgemacht. Hatte das verwechselt (vor kurzem war hier exakt die gleiche Aufgabe drin). Bezüglich dieser Aufgabe also in dem anderen Thread weiter.

01.05.2011, 16:57

Tim1985

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ok danke dir smile

smile

01.05.2011, 20:45

eggi2

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hab das mal mit dem arcccos kleiner als 2/3pi gemacht:

-0,5< x/sqrt(x^2+(y+1)^2) <1

<1 ist ja schon gezeigt, also bleibt nur noch -0,5< x/sqrt(x^2+(y+1)^2)

ich bekomme da aber keine vernünftige lösung bzw ein geometrisches gebilde raus. hab da fast ne ellipsengleichung, nur statt der 1 ne 0.

01.05.2011, 20:50

Mazze

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Zitat:

-0,5< x/sqrt(x^2+(y+1)^2) <1

Richtig! Das geht aber auch nur so gut , da der arcus cosinus streng monoton ist.

Zitat:

ich bekomme da aber keine vernünftige lösung bzw ein geometrisches gebilde raus. hab da fast ne ellipsengleichung, nur statt der 1 ne 0.

Was genau kriegst Du ?

01.05.2011, 20:58

eggi2

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0< (3/4)x^2 - 1/4(y+1)^2

und dann könnte man es zur ellipsengleichung umformen, so weit ich weiß:

0< (x^2)/(4/3) + [(y-(-1))^2]/(-4)

01.05.2011, 21:07

Mazze

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Du musst Vorsichtig sein. Zunächst bekommst man :

$\begin{eqnarray*} -0.5 \sqrt{x^2 + (y + 1)^2} < x \end{eqnarray*}$

Du darfst jetzt nicht einfach quadrieren,da die Linke Seite kleiner als 0 ist. Was man aber sofort sieht ist, dass nur negative x überhaupt die Ungleichung lösen können (der Wurzelterm ist nichtnegativ). Daher kannst Du die Ungleichung mit -1 multiplizieren und erhältst :

$\begin{eqnarray*} 0.5 \sqrt{x^2 + (y + 1)^2} > -x \end{eqnarray*}$ für x < 0

Jetzt kannst Du quadrieren.

01.05.2011, 21:15

eggi2

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ok, aber das endergebnis bleibt ja gleich, nur mit > statt <

ist das dann so richtig oder kann man das anders umformen?

01.05.2011, 21:22

Mazze

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Also ich kriege :

$\begin{eqnarray*} 0.25(x^2 + (y + 1)^2) > x^2 \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} 0.25(y + 1)^2 - 0.75x^2 > 0 \end{eqnarray*}$

Das ist keine Ellipse mehr. Bedenke das immernoch (y + 1) > 0 gilt !.

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