menge aller komplexen zahlen |
29.04.2011, 14:59 | Tim1985 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
menge aller komplexen zahlen Hallo zusammen, ich komme bei folgender Aufgabe nicht zurecht, kann mir jemand helfen, oder zumindest einen Ansatz geben? Grüße Tim Man bestimme die Menge aller z mit folgender Eigenschaft: 0 < arg(z + i) < 2/3pi ? und zeichne eine Skizze in der Gaußschen Ebene. Meine Ideen: ... |
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29.04.2011, 15:02 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie ist denn für eine komplexe Zahl z definiert? |
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29.04.2011, 15:19 | Tim1985 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
meinst du es so: Winkel, den die positive reelle Achse und der Zeiger z einschließen? |
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29.04.2011, 15:21 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, um die Aufgabe zu lösen, musst Du ja zunächst ertsmal wissen, was ist. Wenn Du das weißt bestimmst Du und schaust , welche Winkel die Ungleichung erfüllen. Aber ja , Das ist schon der richtige Winkel. Wie bestimmt man ihn? |
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29.04.2011, 15:29 | Tim1985 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
z=x+yi mit z ungleich 0 der Betrag von z ergibt den Radius und dann kann ich über den Satz von Pytagoras mein Argument ausrechnen. z.b. arg(z) = arccos(x/r) |
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29.04.2011, 15:33 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, jetzt hast Du die komplexe Zahl wie sieht davon das Argument aus? |
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29.04.2011, 15:44 | Tim1985 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also mein Ansatz wäre folgender: z+i = x+yi z = x+yi-i z = x+(y-1)i danach Radius bestimmen und wieder auf arg(z) umstellen? |
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29.04.2011, 15:48 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was rechnest Du da ? Richtig ist :
Ja! |
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29.04.2011, 16:01 | Tim1985 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, also ich komme auf folgendes Ergebnis: arg (z+i) = arccos (cos(phi)) Ich hab jetzt einfach einmal phi = 0 und phi = 120 eingesetzt, die Ergebnisse müssten dann die Menge meiner Zahlen seien, also zwischen 0 - 120, oder? |
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29.04.2011, 16:06 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich komme auf für . Wie siehts für aus? Und dann sind alle (x,y) zu finden, so dass die Ungleichung erfüllt ist. |
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29.04.2011, 16:16 | Tim1985 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sorry, ich schein einfach doof zu sein, aber ich komm hier kein Stück weiter... |
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29.04.2011, 16:22 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, für ist Zeichen es dir mal auf ! Wie auch immer, wir haben also für (y + 1) > 0 die Ungleichung Jetzt überlege Dir : Wo ist der Arccuscosinus definiert ? Wann wird der Arcuscosinus > 0 und was muss dann für den Term innerhalb dessen gelten? |
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29.04.2011, 16:32 | Tim1985 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
definiert ist der arccos von -1 bis 1, wobei arccos(<1) >0 wird. also muss ich auf arccos(-0,5) = 120 und arccos(1) = 0 kommen... |
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29.04.2011, 16:37 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Auf dem ganzen Definitionsbereich des Arcuscosinus ist dieser also > 0 (bis auf einen Punkt). Sprich : Für alle (x,y) mit gilt die Linke Seite der Ungleichung. Jetzt wären also alle (x,y) zu finden, so dass gilt. edit : Kleine Korrektur des Punktes, an dem der Arcuscosinus 0 wird. |
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29.04.2011, 16:50 | Tim1985 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich hab echt meinen Kopf verloren, ich hab keine Ahnung was ich wie machen muss, ich hab irgendwie was mit y =< -1 ausgerechnet und dann hat sich aber das x selber weggekürzt... |
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29.04.2011, 16:54 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also, wir sind ja immernoch beim Fall , wir wissen also schon dass ist. Daher ergibt das was Du da ausgerechnet hast nicht wirklich Sinn. Zeige dass gilt. Was Hilft dir das ? |
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29.04.2011, 17:01 | Tim1985 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
sorry ich gebe auf, ich hab im moment wirklich von nichts irgendetwas verstanden, leider muss ich jetzt auch arbeiten gehen, deswegen versuche ich es irgendwie am sonntag nochmal, muss die pflichtaufgabe montag abgeben, hoffe dass es bis dahin noch irgendwie hinbekomme, aber danke für deine mühe und sorry dass ich es einfach nicht verstehe. gruß tim |
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01.05.2011, 12:26 | Garen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn man die Gleichung umstellt, erhält man: 0<(y+1)² --> Aber was bringt uns das? |
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01.05.2011, 12:46 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Offensichtlich gilt macht euch das mal klar, und daraus folgt, dass die Linke Seite der Ungleichung für alle x,y mit (y + 1) > 0 gilt. Sprich, nur die Rechte is genauer zu betrachten. Aber wie gesagt, dafür muss obige Ungleichung erstmal gezeigt werden. (Was nahezu trivial ist) |
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01.05.2011, 13:08 | Garen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
x<(x²+(y+1)²)^1/2 l ² x²<x²+(y+1)² l -x² 0<(y+1)² gilt wenn y>-1 Ist es damit bewiesen? |
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01.05.2011, 13:27 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da beide Seiten größer als 0 sind geht das. Ich hätte einfach für gemacht. edit : Die Ungleichung gilt übrigens sogar für . Das kann später nochma genutzt werden. |
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01.05.2011, 13:51 | Garen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
WIe komm ich jetzt weiter. wir haben uns doch bloß den Deninitionsbereich der arccos Funktion angeschaut. Wofür brauch ich das, wenn doch die Menge aller z wissen möchte. Ich muss doch mit 0<arccos(...)<2/3pi weiter rechnen. |
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01.05.2011, 13:55 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Lest ihr was ich schreibe ? Wir haben gesagt, dass der Arcuscosinus auf seinem Definitionsbereich, bis auf die 1, stets größer 0 ist. Also haben wir geschaut welche Zahlen eingesetzt in den Ausdruck zwischen -1 und 1 liegen, und haben festgestellt, dass für alle Zahlenpaare (x,y) für zwischen -1 und 1 liegen. Sprich, für gilt die Ungleichung für alle (x,y). Jetzt ist also noch für (y + 1 ) > 0 zu lösen. Dann ist Fall 1 fertig. |
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01.05.2011, 14:34 | Garen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kannst du mir einen tipp oder ne rechenregel geben die mir hilft die Ungleichung zu lösen. Fällt mir unheimlich schwierig jetzt mit diesem term zu rechnen. |
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01.05.2011, 15:27 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du machst das selbewie vorher. Du schaust Dir an wann der Arcuscosinus kleiner als 2/3 pi ist. Du bekommst dann eine Menge und musst dann schauen, für welche x/y der Term im Arcuscosinus Argument in der Menge liegt. |
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01.05.2011, 16:49 | Tim1985 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
gut dann hier: Seien a und b reelle Zahlen. Welche Menge komplexer Zahlen wird beschrieben durch: ae^-ti+be^ti , t Element von R? Kann mir hier eventuell jemand weiter helfen? ich habe die Gleichung jetzt erstmal umgestellt, sieht bei mir jetzt so aus: z = (b-a) e^ti |
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01.05.2011, 16:52 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Habe den anderen Thread wieder aufgemacht. Hatte das verwechselt (vor kurzem war hier exakt die gleiche Aufgabe drin). Bezüglich dieser Aufgabe also in dem anderen Thread weiter. |
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01.05.2011, 16:57 | Tim1985 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok danke dir |
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01.05.2011, 20:45 | eggi2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hab das mal mit dem arcccos kleiner als 2/3pi gemacht: -0,5< x/sqrt(x^2+(y+1)^2) <1 <1 ist ja schon gezeigt, also bleibt nur noch -0,5< x/sqrt(x^2+(y+1)^2) ich bekomme da aber keine vernünftige lösung bzw ein geometrisches gebilde raus. hab da fast ne ellipsengleichung, nur statt der 1 ne 0. |
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01.05.2011, 20:50 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig! Das geht aber auch nur so gut , da der arcus cosinus streng monoton ist.
Was genau kriegst Du ? |
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01.05.2011, 20:58 | eggi2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
0< (3/4)x^2 - 1/4(y+1)^2 und dann könnte man es zur ellipsengleichung umformen, so weit ich weiß: 0< (x^2)/(4/3) + [(y-(-1))^2]/(-4) |
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01.05.2011, 21:07 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du musst Vorsichtig sein. Zunächst bekommst man : Du darfst jetzt nicht einfach quadrieren,da die Linke Seite kleiner als 0 ist. Was man aber sofort sieht ist, dass nur negative x überhaupt die Ungleichung lösen können (der Wurzelterm ist nichtnegativ). Daher kannst Du die Ungleichung mit -1 multiplizieren und erhältst : für x < 0 Jetzt kannst Du quadrieren. |
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01.05.2011, 21:15 | eggi2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok, aber das endergebnis bleibt ja gleich, nur mit > statt < ist das dann so richtig oder kann man das anders umformen? |
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01.05.2011, 21:22 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich kriege : => Das ist keine Ellipse mehr. Bedenke das immernoch (y + 1) > 0 gilt !. |
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