Offene Mengen skizzieren

29.04.2011, 18:32

El Rey

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Offene Mengen skizzieren

Meine Frage:
hallo liebes forum Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich sitze hier grad an folgender aufgabe und finde keinen ansatz

skizziere jeweils die offene Menge $\begin{eqnarray*} B(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} ,1) \end{eqnarray*}$ bzgl. der Abstände die von den Normen $\begin{eqnarray*} ||.||_{1},||.||_{2},||.||_{\infty } \end{eqnarray*}$ sowie von der französischen eisenbahnmetrik induziert werden

Meine Ideen:
ich weis das man den vektor als mittelpunkt setzt aber weiter komme ich nich

kann mir da wer helfen ??

29.04.2011, 18:36

Cel

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Was mir schon öfters aufgefallen ist: Du studierst in Dortmund beim lieben Herrn Röger, was? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielleicht sogar Statistik?

Die Definitionen kennst du. Beginne mit der 2-Norm, die ist am einfachsten. Schreib mal die Menge konkret auf.

29.04.2011, 18:42

El Rey

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is nich die 1-norm am einfachsten ??

$\begin{eqnarray*} \left\{ x\in \mathbb R^2 |\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \end{pmatrix} < 1\right\} \end{eqnarray*}$

meinst du so ??

29.04.2011, 18:55

Cel

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Tja, jedem das seine, die 2-Norm entspricht der weitläufigen Vorstellung eines Kreises, deswegen halte ich sie für einfach.

Das, was du aufschreibst, kann nicht richtig sein. Wann ist denn ein Vektor kleiner als 1, also eine reelle Zahl?

$\begin{eqnarray*} B\left(\begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix}, 1\right) = \left\{x \in \mathbb{R}^2 \, : \, \left\|x - \begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\| < 1 \right\} \end{eqnarray*}$ . An Stelle der Normstriche steht jeweils die passende Norm.

So, jetzt nenn $\begin{eqnarray*} x= (x_1, x_2)^T \end{eqnarray*}$ und schreib das ganze noch mal sauber auf.

29.04.2011, 19:05

El Rey

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also so dann

$\begin{eqnarray*} B(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} ,1)=\left\{\vec{x} \in \mathbb R ^2 ||\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}||<1 \right\} \end{eqnarray*}$

aber wie macht man damit weiter ??

29.04.2011, 19:12

Cel

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Setz die Definition der 2-Norm ein, meinetwegen auch der 1 oder Unendlich-Norm und schreib die aus.

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29.04.2011, 19:27

El Rey

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okay nehm ich mal die einnorm ne Big Laugh

Big Laugh

das is ja dann ganz einfach das skalarprodukt mit sich selbst also ergibt sich dann

$\begin{eqnarray*} <(\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}),(\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}))> \end{eqnarray*}$

weiter ergbit sich dann

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1-1 \\ x2-2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x1-1 \\ x2-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und das ergitb dann

$\begin{eqnarray*} (x1-1)^2+(x2-2)^2 \end{eqnarray*}$ und das soll dann kleiner eins sein

aber wie hilft mir das ??

29.04.2011, 20:09

Cel

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Du hast eine PN, El Rey. Schau mal in dein Postfach. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du hast richtig gerechnet, aber das ist nicht die 1-Norm, sondern die 2-Norm. Und außerdem muss da noch ein Wurzelzeichen drüber. So ist die definiert. Du kannst aber die Ungleichung gleich quadrieren und das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten, das liegt an der strengen Monotonie ~~der Wurzel~~ von x² (für x > 0).

Die 1-Norm ist in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \|x\|_1 = |x_1|+|x_2| \end{eqnarray*}$ . Schau noch mal ins Skript.

Für deine hergeleitete Ungleichung sollte dein Schulwissen helfen. Wenn nicht, dann guck mal hier.

29.04.2011, 20:17

El Rey

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aber man soll das ja skizzieren wozu soll ich da mit na ungleichung rumrechnen ?? oder übersehe ich was ??

29.04.2011, 20:24

Cel

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Ja, aber diese Ungleichung sagt dir, was genau das ist. Also, wie gesagt, ist ja fast alles gut. Du hast raus (Wurzel muss drüber):

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x_1-1)^2+(x_2-2)^2} < 1 \Leftrightarrow (x_1-1)^2+(x_2-2)^2 < 1 \end{eqnarray*}$ .

Der Wikiartikel sagt dir jetzt, dass das ein "klassischer" Kreis ist, den du mit einem Zirkel zeichnen kannst. Und den Mittelpunkt hast du auch.

Falls du das verstanden hast, dann mach mit der Maximumsnorm weiter.

29.04.2011, 20:26

El Rey

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okay also is der vektor der mittelpunkt und 1 der radius ??

29.04.2011, 20:30

Cel

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Exakt. (Bzw. der Punkt, der durch den Vektor repräsentiert wird, aber sind wir mal nicht päpstlicher als der Papst.) Das muss auch so sein, denn du bestimmst ja gerade die Kugeln um (1,2) mit Radius 1. Deine Menge ist dann natürlich das, was drinnen liegt.

Gut, dann mal weiter. Freude

Freude

29.04.2011, 20:31

El Rey

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aber ich dachte die is offen is sie dann nich abgeschlossen ??

29.04.2011, 20:36

Cel

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Wie kommst du denn jetzt auf Abgeschlossenheit? Die offenen Kgeln sind offen, deswegen hat man sie so genannt. Ziehe die Kreislinie um (1,2), Radius 1. Alles, was drinnen liegt, ist deine Menge, ohne die Linie.

29.04.2011, 20:38

El Rey

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aso joa das macht sinn ne Big Laugh

Big Laugh

i-wie is das thema nich so meins Big Laugh

Big Laugh

29.04.2011, 20:43

El Rey

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kommt bei der einsnorm en rechteck raus ??

29.04.2011, 20:44

Cel

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Joa ... aber es liegt schief.

29.04.2011, 20:46

El Rey

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woran siehst du das ??

29.04.2011, 21:02

Cel

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Nun, wie die Definition aussieht, hab ich dir aufgeschrieben.

Einen Überblick bekommst du hier. Man könnte sich das alles mit Mittelpunkt (0,0) klarmachen und dann durch Verschiebung argumentieren. Oder sofort mit Definition den Ausdruck umformen. Durch die Beträge musst du vier Fälle beachten.Einer wäre $\begin{eqnarray*} x_2 >2,~x_1 > 1 \end{eqnarray*}$ und so weiter ...

29.04.2011, 21:13

El Rey

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okay die bilder helfen aber wie kommt man auf die veschiedenen fälle ??

29.04.2011, 21:40

Cel

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Aber das hab ich doch schon geschrieben. unglücklich

unglücklich

Nun gut, ich mach dir Fall 1 vor, den Rest musst du dann aber machen.

$\begin{eqnarray*} B\left(\begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix}, 1\right) = \left\{x \in \mathbb{R}^2 \, : \, \left\|x - \begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\|_1 < 1 \right\} = \left\{ x \in \mathbb{R}^2 \, : \, |x_1 - 1| + |x_2 - 2| < 1\right\} \end{eqnarray*}$ .

So, wir formen jetzt den hinteren Teil um:

$\begin{eqnarray*} |x_1 - 1| + |x_2 - 2| < 1 \Leftrightarrow |x_2 - 2| < 1 - |x_1 - 1| \end{eqnarray*}$ .

Jetzt untersuchen wir den Fall $\begin{eqnarray*} x_1 > 1,~x_2 > 2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |x_2 - 2| < 1 - |x_1 - 1|\Leftrightarrow x_2 - 2 < 1 - (x_1 -1) \Leftrightarrow x_2 < 4 - x_1 \end{eqnarray*}$ .

Das ergibt die eine Seite (nämlich die oben rechts). Und jetzt könnte eine der beiden Variablen auch kleiner sein, oder beide. Macht drei restliche Fälle.

29.04.2011, 21:46

El Rey

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ich kann jez zwar die rechnung nachvollziehen aber mir fehlt noch der bezug zur anschaung
was teilt mit das denn jez mit ?? woher weis ich das das die seite is ??

29.04.2011, 21:52

Cel

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Das ist eine Geradengleichung. Tu mal so, als stünde da ein =. Die kannst du einzeichnen, aber nur in den betrachteten Bereichen. Und du hast ja nur die Eigenschaft, die gelten soll, umgeformt.

29.04.2011, 22:03

El Rey

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okay ich glaub so langsam versteh ich das aber kann man dann den überhaupt genau angeben wie die ecken des rechtecks liegen ??

29.04.2011, 22:31

Cel

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Kann man. Wenn du die vier Geraden zeichnest, dann schneiden die sich ja. Berechnen könntest du sie natürlich durch gleichsetzen auch, aber du sollst die ja nur skizzieren.

29.04.2011, 22:37

El Rey

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okay dann hab ich das mit der 1 norm auch drauf denk ich
bei der supremumsnorm bekommt man ein quadrat kannst du mir das auch noch erklärn ??

29.04.2011, 22:46

Cel

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Das ist noch mit das einfachste.

Jetzt gucken wir uns das an: $\begin{eqnarray*} \max \{|x_1 - 1|,~|x_2 - 2|\} < 1 \end{eqnarray*}$ .

Was heißt das? Wo ist $\begin{eqnarray*} |x_1 - 1| = 1,~|x_2 - 2| = 1 \end{eqnarray*}$ ? Zeichne die jeweiligen senk- bzw. waagerechten Linien ein.

30.04.2011, 00:13

El Rey

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wie sieht man denn daraus das quadratische ??

30.04.2011, 00:19

Cel

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Dann beantworte doch erst mal die Frage, bitte.

Zitat:

Original von Cel
Wo ist $\begin{eqnarray*} |x_1 - 1| = 1,~|x_2 - 2| = 1 \end{eqnarray*}$ ?

30.04.2011, 00:27

El Rey

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vom mittelpunkt aus unten links oder nich ??

30.04.2011, 00:31

Cel

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Hmm? Das sind zwei Gleichungen, die kannst du doch lösen? Welche Zahlen muss man für x1 und x2 einsetzen, dami sie erfüllt sind?

30.04.2011, 12:07

El Rey

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also das gilt für $\begin{eqnarray*} x_1=2,0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=3,1 \end{eqnarray*}$ richtig ??

30.04.2011, 12:13

Cel

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Richtig. Und zeichne nun die Geraden $\begin{eqnarray*} x_1 = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$ ein, das sind senkrechte Linien. Und zeichne auch die Geraden $\begin{eqnarray*} x_2 = 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 = 1 \end{eqnarray*}$ ein, das sind waagerechte Linien. Und schon ergibt sich dort irgendwo ein Rechteck. smile

smile

30.04.2011, 12:19

El Rey

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okay is eigentlich wirklich recht einfach Big Laugh

Big Laugh

man soll das ja auch noch für die französische eisenbahnmetrik machen das sind ja alles 2normen aber i-wie weis ich trotzdem nich wie man da ansetzt
kannst du mir vllt dazu auch noch en tipp geben ???

30.04.2011, 12:26

Cel

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Guck dir mal dieses Dokument an, vor allem die Darstellung der Kugel unten. Berechne die Norm von dem Mittelpunkt der Kugel und bedenke, dass die Kugel Radius 1 haben soll.

30.04.2011, 13:52

El Rey

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kommt man damit auf eine ellipse ??

30.04.2011, 13:58

Cel

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Öhm ... nein. Verstehst du die Darstellung unten? Welche Länge hat der Vektor des Mittelpunktes (1,2)? Welchen Fall musst du nur berücksichtigen?

30.04.2011, 14:09

El Rey

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eig müssen wir ja nur norm von x größer als epsilon berücksichtigen oder nich ??

30.04.2011, 14:33

El Rey

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oder is das en kreis mit r als 1+ oder - epsilon durch norm x ??

30.04.2011, 15:00

Cel

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Nein, das stimmt schon, dass man nur den ersten Fall betrachten muss. Beachte, dass das x aus dem pdf fest ist, es entspricht deinem Vektor $\begin{eqnarray*} (1,2)^T \end{eqnarray*}$ . Setz mal alles ein, was bekannt ist. Was stellt dieses $\begin{eqnarray*} t \cdot x = t \cdot (1,2)^T \end{eqnarray*}$ dar?

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