Asymptote von Wurzelfunktion

29.04.2011, 19:05	matze_ka	Auf diesen Beitrag antworten »
Asymptote von Wurzelfunktion Habe die Funktion bereits umgeformt zu: $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{2x^2+2x+4+\frac{16x+48}{x^2-9} } \end{eqnarray}$ Nun sollte doch $\begin{eqnarray} \sqrt{2x^2+2x+4} \end{eqnarray}$ die Asymptote sein? nun steht aber in der Lösung für die Asymptote: $\begin{eqnarray} \pm \sqrt{2}x \pm \frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray}$ kann mir jemand verraten wie ich da drauf komme?
29.04.2011, 21:39	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Asymptote von Wuzelfunktion Forme den Term unter der Wurzel noch ein wenig weiter um: $\begin{eqnarray} 2x^2+2x+4=2(x²+x+2)=2(x+\frac 12)^2+\frac 74 \end{eqnarray}$
29.04.2011, 21:55	matze_ka	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab schon wie wild versucht um zuformen... das gleich wie du hatte ich auch schon, aber wie soll es dann weiter gehen? wenn die 7/4 nicht wären, wär alles super..
30.04.2011, 10:12	matze_ka	Auf diesen Beitrag antworten »
und du hast scheinbar die klammern vergessen um ((x+0.5)² + 7/4) sonst stimmts nämlich nicht so wirklich.. hab ich aber gestern im halbschaf auch übersehen. aber wie kommt man jetzt auf diese zwei geraden, die in der lösung stehen?
30.04.2011, 11:12	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Asymptote von Wuzelfunktion Ja, hast recht, da fehlt eine Klammer. Wir haben also folgenden Term: $\begin{eqnarray} 2((x+\frac 12)^2+\frac 74) \end{eqnarray}$ Die entscheidende Frage ist nun: Musst Du beweisen, dass die Asymptote die angegebene Form hat, oder reicht es sie abzulesen? Wenn letzteres der Fall ist, dann sieht man es daran, dass für $\begin{eqnarray} x\rightarrow \infty \end{eqnarray}$ der Term in der Klammer der entscheidende ist und die $\begin{eqnarray} + \frac 74 \end{eqnarray}$ nicht ins Gewicht fallen. Übrig bleibt der Term $\begin{eqnarray} \sqrt{2(x+\frac 12)^2} = \sqrt 2(x+\frac 12) \end{eqnarray}$ . Das ganze aber zu beweisen ist ein wenig schwieriger.
30.04.2011, 11:43	matze_ka	Auf diesen Beitrag antworten »
meine aufgabe war es alle asymptoten zu berechnen. nun die senkrechte asymptote war kein thema. ich glaub ich hör jetzt auf mich da ewigkeiten aufzuhängen.. $\begin{eqnarray} \sqrt{2x^2+2x+4} \end{eqnarray}$ ist definitiv die "genauere" Asymptote, dass siehe ich wenn ich alles plotte. früher in der schule habe ich gelernt, dass asymptoten durchaus auch funktionen sein können.. Allerdings habe ich gerade festgestellt, als ich nach der definition suchte, dass es keine wirklich eindeutige gibt. Klar lässt man die 7/4 unter der wurzel wegfallen kommt man auf die zwei geraden. Dass die 7/4 nicht ins gewicht fallen hat aber nicht mit dem grenzwert zu tun oder? wie würdest du das beweißen?
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30.04.2011, 11:58	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Asymptoten erhält man doch gerade durch Betrachtung der Funktion im Unendlichen, also hat es schon etwas mit dem Grenzwert zu tun. Da der hier aber unendlich ist, kommt nur eine Funktion als Asymptote in Frage und die wird meines Wissens meistens als Gerade definiert. Dein Wurzelterm ist also genauer, aber keine Asymptote im Sinne der engeren Definition.
30.04.2011, 23:05	matze_ka	Auf diesen Beitrag antworten »
ja du hast recht, habe mich gerade noch mal schlau gemacht. eine schräge Asymptote ist im Normalfall definiert als Tangente im unendlichen, und somit eine Gerade. mittels der ersten Ableitung und deren Grenzwert für x gegen unendlich erhält man die Steigung. mit dieser kann man dann noch den y-Achsen-Abschnitt der Asymtote bestimmen. muss nur mal schauen wie man das in diesem fall jetzt anstellt...

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