Die Vorgehensweise bei folgenden Wurzeln?

29.04.2011, 19:22

Teylor

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Die Vorgehensweise bei folgenden Wurzeln?

Meine Frage:
Also, erstmal hi. Wir sind in der Schule grade bei Kurvendiskussion. Derzeit nehmen wir Scharfunktionen durch und vorallem die Wurzelgesetze machen mir oft Probleme.

Ich habe folgende Funktion:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2t}x³+2tx \end{eqnarray*}$

Mein problem ist die Nullstellenberechnung und das Finden der Extrempunkte.

Meine Ideen:
Bei der Nullstellenberechnung Klammer ich ein x heraus und weis meine erste Nullstelle (0). Für die zweite ziehe ich dann 2t mit minus rüber und habe dann folgendes stehen:

$\begin{eqnarray*} -2t=-\frac{1}{2t}x² \end{eqnarray*}$

Anschließend nehme ich mit dem Kehrwert mal und erhalte dann

$\begin{eqnarray*} 4t²=x² \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt der Punkt wo ich mir unsicher werde. Jetzt muss ich ja die +-Wurzel aus 4t² ziehen. Ich persönlich dachte das sich dann das ² und die Wurzel gegenseitig wegkürzen und 4t übrig bleibt. Wenn ich die Funktion in Taschenrechner table-Funktion eingebe und einfach annehme das t=1 ist, dann müsste aber 2t bei rauskommen (also das ² weg und die Wurzel aus 4).

So, also dachte ich ich muss die ² wegkürzen und gleichzeitig noch die Wirzel aus 2 ziehen und bin dann zu der Ermittlung der Extrempunkte weiter gegangen.

Meine ersten zwei Ableitung aus ft(x) sind:

ft'(x)= $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{2t}x²+2t \end{eqnarray*}$

ft''(x)= $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{t}x \end{eqnarray*}$

Die Bedingungen für die Extrempunkte sind klar.

ft'(x) = 0
ft''(x) größer oder kleiner als 0, ansonsten VZW bei ft'(x)
y-Werte ausrechnen

Ich setze als bei ft'(x) y=0 und löse nach x auf. Als erstes hole ich die t mit minus rüber und anschließend nehme ich mit dem Kehrwert wieder mal. Rauskommen tut dabei:

$\begin{eqnarray*} \frac{4t²}{3} = x² \end{eqnarray*}$

So, jetzt kommt der entscheidende Punkt der bei mir zur Verwirrung führt. Wenn ich jetzt die +-Wurzel ziehen will, also:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{4t²}{3} } \end{eqnarray*}$

Was müsste hierbei herauskommen? Wenn ich die Extrempunkte mittels table-Funktion ermittle (wieder für angenommen t=1), dann müsste der Extrempunkte bei +-4/3 liegen auf der x-Achse. Wenn ich jetzt aber wie oben, aus 4t² die Wurzel nehme und dann 2t/3 rauskommt und ich für t=1 einsetze, dann komme ich auf einen Wert von 2/3, was ja nicht 4/3 entspricht...

Kann mir hier jemand erklären wo mein Denkfehler liegt? Oder habe ich grundsätzlich alles falsch gemacht? Wäre dankbar für jede Hilfe. smile

smile

29.04.2011, 19:56

Pilot9

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Ich erinnere dich einmal an die Wurzelgesetzte, anhand von deinem Beispiel.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{4t²}{3} }=\frac {\sqrt{4} \cdot \sqrt{t^{2}}}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

Du bekommst für $\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$ also keineswegs $\begin{eqnarray*} \frac {2} {3} \end{eqnarray*}$ heraus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und wenn dir dein Taschenrechner wirklich $\begin{eqnarray*} \frac {4} {3} \end{eqnarray*}$ als Ergebnis liefert, dann würde ich nochmal meine Eingabe überprüfen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gerechnet hast du nämlich bisher alles richtig.

29.04.2011, 20:47

Teylor

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Ah super, soweit schonmal vielen dank. Wusste nicht das ich auch den Nenner mit einbeziehen muss. Big Laugh

Big Laugh

Ist denn sonst soweit alles richtig bei der Extremwertberechnung? smile

smile

29.04.2011, 20:53

Pilot9

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Also wie gesagt, bisher sind alle Rechenschritte, bis auf der letzte eben, richtig gewesen, deine Anstätze zur Bestimmung der Extrempunkte auch.

Gib doch einfach mal die Art der Extrema und ihre Koordinaten, in abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ an. smile

smile

29.04.2011, 21:07

Teylor

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Hoffe das klingt jetzt nicht blöd, aber wie geht das? Das mit der "in Abhängigkeit von" habe ich bisher nie ganz verstanden. unglücklich

unglücklich

29.04.2011, 21:19

Pilot9

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$\begin{eqnarray*} \frac{4t²}{3} = x² \end{eqnarray*}$

Du rechnest von dieser Gleichung ausgehend einfach die x-Werte der Extrempunkte aus bzw. das hast du ja schon getan.

$\begin{eqnarray*} x=\pm \sqrt{\frac{4t²}{3}} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis ist ja jetzt die x-Koordinate des Extrempunktes. In abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ heißt einfach, dass du keine Zahl einsetzt, sondern das $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ einfach so stehen lässt.

SO kommst du auf 2 Punkte

$\begin{eqnarray*} P_{1}\left(+\sqrt{\frac{4t²}{3}}/y_{1}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_{2}\left(-\sqrt{\frac{4t²}{3}}/y_{2}\right) \end{eqnarray*}$

Jetzt nur noch die y-Koordniate berechnen. smile

smile

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29.04.2011, 21:36

Teylor

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Also für Y komme ich auf -+8t (da Punktsymatrisch). Aber irgendwie kommt mir das falsch vor...

29.04.2011, 21:42

Teylor

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Muss mich berichtigen. Komme auf

$\begin{eqnarray*} \pm \frac{8}{3} t \end{eqnarray*}$

29.04.2011, 21:43

Pilot9

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Der Zähler stimmt, aber der Nenner (welcher bei dir ja garnicht vorhandern ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

) ist falsch.

Schreib mal deinen Rechenweg auf.

29.04.2011, 21:47

Teylor

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Da war ich wohl schneller als du Big Laugh

Big Laugh

Ist mir auch sofort ins Auge gestochen dass das so nicht sein konnte. Habs deswegen nochmal komplett durchgerechnet. smile

smile

29.04.2011, 21:57

Teylor

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Damit das aktuellste Ergebnis auch im letzten Post steht. Also bin wie gesagt auf folgendes gekommen als ich nochmal drüber geschaut habe. smile

smile

29.04.2011, 22:00

Pilot9

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Zitat:

Der Zähler stimmt, aber der Nenner [...] ist falsch. Schreib mal deinen Rechenweg auf.

Augenzwinkern

29.04.2011, 22:30

Teylor

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Da ist doch ein Nenner? Weil du meintest da wäre keiner? geschockt

geschockt

Egal, wenn immernoch was falsch ist, dann schreib ichs mal auf:

X-Werte:

$\begin{eqnarray*} ft'(xe)=-\frac{3}{2t}x²+2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2t=-\frac{3}{2t} x² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4t²}{3} = x² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{4t²}{3}} = x \end{eqnarray*}$

y-Werte:

$\begin{eqnarray*} ft(\sqrt{\frac{4t²}{3} }) = \frac{1}{2t} *(\sqrt{\frac{4t²}{3} })³+2t*(\sqrt{\frac{4t²}{3} }) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(\sqrt{\frac{4t²}{3} })*(\frac{1}{2t}*(\sqrt{\frac{4t²}{3} })²+2t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2t} * (\sqrt{\frac{4t²}{3} })²+2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{4t²}{6t} +2t \Rightarrow \frac{2t²}{3t} +2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{3} t+2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{8}{3} t \end{eqnarray*}$

29.04.2011, 23:02

Pilot9

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Also der erste Fehler ist, dass du das Minus vor dem ersten Summanden unterschlagen hast.

Der nächste Fehler ist beim2. zum 3. schritt

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{\frac{4t²}{3} })*(\frac{1}{2t}*(\sqrt{\frac{4t²}{3} })²+2t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2t} * (\sqrt{\frac{4t²}{3} })²+2t \end{eqnarray*}$

Hier hast du den Faktor $\begin{eqnarray*} (\sqrt{\frac{4t²}{3} }) \end{eqnarray*}$ unterschlagen.

Multipliziere deine Glelichung aus Schritt 5 $\begin{eqnarray*} - \frac{2}{3} t+2t \end{eqnarray*}$ noch mit $\begin{eqnarray*} (\sqrt{\frac{4t²}{3} }) \end{eqnarray*}$ und vergiss das Minus nicht. smile

smile

29.04.2011, 23:52

Teylor

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{4t%B2}{3}%20}) \end{eqnarray*}$

Den Faktor hab ich doch am Anfang ausgeklammert und 0 geteilt durch irgendwas ergibt doch dann null. Dann bleibt doch nurnoch

übrig, oder?

30.04.2011, 00:04

Pilot9

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Nein, denn du löst ja hier die Gleichung $\begin{eqnarray*} ft(\sqrt{\frac{4t²}{3} }) =- \frac{1}{2t} *(\sqrt{\frac{4t²}{3} })³+2t*(\sqrt{\frac{4t²}{3} }) \end{eqnarray*}$ .

Theoretisch könntest du den rechten Term der Gleichung auch als y- Wert des Puntkes betrachten. Das zusammenfassen dient im Prinzip nur der Vereinfachung, damit es dann schöner aussieht, denn wer schreibt schon:

$\begin{eqnarray*} P_{1}\left(+\sqrt{\frac{4t²}{3}}/- \frac{1}{2t} *(\sqrt{\frac{4t²}{3} })³+2t*(\sqrt{\frac{4t²}{3} })\right) \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.04.2011, 00:05

Teylor

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Ich hätte natürlich am Anfang auch die

$\begin{eqnarray*} +2t(\sqrt{\frac{4t²}{3} } \end{eqnarray*}$

rüberholen können und anschließend hätte ich durch den Faktor in der Klammer geteilt. Dann wäre er links weg und rechts wäre dann statt ³ nurnoch ein ² und das wäre ja dann wieder das selbe als wie wenn ich es rausfaktorisiere und dann durch null teile.

Oder wo ist da mein Denkfehler? unglücklich

unglücklich

30.04.2011, 00:06

Teylor

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Also darf ich nichts von rechts nach links "schieben", sondern versuch die rechte Seite so weit zu kürzen wie möglich?

30.04.2011, 00:20

Teylor

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Also mein neustes Ergebnis ist dann

$\begin{eqnarray*} -\frac{4t²}{6*\sqrt{3} +\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$

30.04.2011, 00:24

Pilot9

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Das haut nicht wirklich hin. Schreib mal ein paar mehr Zwischennschritte auf.

30.04.2011, 00:39

Teylor

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Uff ok. Ich v ersuch zwischendrin zu erklären was ich gemacht hab.

x-Wert in ft(x) eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} ft(\sqrt{\frac{4t²}{3} x})=-\frac{1}{2t} *(\sqrt{\frac{4t²}{3} x})³+2t(\sqrt{\frac{4t²}{3} x}) \end{eqnarray*}$

Anschließend habe ich die ^3 Klammer aufgelöst. Es ergibt sich einmal der Wert unter der Wurzel ganz normal und einmal bleibt der Wert mit der Wurzel übrig:

$\begin{eqnarray*} = -\frac{1}{2t} * \frac{4t²}{3}*(\sqrt{\frac{4t²}{3} x})+2t*(\sqrt{\frac{4t²}{3} x}) \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die ersten beiden schonmal miteinander multipliziert:

$\begin{eqnarray*} = -\frac{4t²}{6t} * (\sqrt{\frac{4t²}{3} x})+2t*(\sqrt{\frac{4t²}{3} x}) \end{eqnarray*}$

Anschließend habe ich die Wurzeln aufgelöst um besser multiplizieren zu können:

$\begin{eqnarray*} = -\frac{4t²}{6t} *\frac{2t}{\sqrt{3} } +2t* \frac{2t}{\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$

Dann habe ich nochmal multipliziert, wobe ich Wurzel3 stehenlasse da es eine ziemlich krumme Zahl wird:

$\begin{eqnarray*} = -\frac{-8t³}{6t*\sqrt{3} } +\frac{4t²}{\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$

die ^3 wird zu ^2 da sie sich mit dem t aus dem Nenner wegkürzt und anschließend kann man doch Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner addieren, wobei ich den Nenner so gelassen habe da die Zahlen recht unschön werden.

30.04.2011, 02:56

Pilot9

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} =- \frac{-8t³}{6t \cdot \sqrt{3} } +\frac{4t²}{\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$

Das sieht schon sehr gut aus, bis auf das du ein Minus zu viel hast.

So müsste es richtig heißen:

$\begin{eqnarray*} = \frac{-8t³}{6t \cdot \sqrt{3} } +\frac{4t²}{\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du das ganze nur noch kürzen und auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

$\begin{eqnarray*} \frac{-8t³}{6t \cdot \sqrt{3} } +\frac{4t²}{\sqrt{3} } =\frac{-4t^{2}}{3 \cdot\sqrt{3} } +\frac{4t²}{\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$

Für den gemeinsamen Nenner erweiterst du mit $\begin{eqnarray*} \frac {3} {3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-4t^{2}}{3 \cdot \sqrt{3} } +\frac{3 \cdot 4t² }{3 \cdot \sqrt{3 }}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-4t^{2}+(3 \cdot 4t^{2} )}{3 \cdot \sqrt{3} }=\frac{-4t^{2}+12t^{2} }{3 \cdot \sqrt{3} }=\frac{8t^{2}}{3 \cdot \sqrt{3} }=\frac{8t^{2}}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{3} }=\frac{8t^{2}}{ \sqrt{9 \cdot 3} }=\frac{8t^{2}}{ \sqrt{27} } \end{eqnarray*}$

30.04.2011, 08:38

Teylor

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Ah ok. Aber eine Sache verstehe ich hier nicht mehr:

Bei diesem Schritt...

$\begin{eqnarray*} \frac{-4t^{2}}{3%20\cdot%20\sqrt{3}%20}%20+\frac{3%20\cdot%204t%B2%20}{3%20\cdot%20\sqrt{3%20}}= \end{eqnarray*}$

...zu diesem Schritt.

$\begin{eqnarray*} \frac{-4t^{2}+(3%20\cdot%204t^{2}%20)}{3%20\cdot%20\sqrt{3}%20}= \end{eqnarray*}$

Wieso wiird aus den Nennern...

$\begin{eqnarray*} 3*\sqrt{3} + 3*\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

...dann nurnoch folgendes

$\begin{eqnarray*} 3*\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Müsste das nicht...

$\begin{eqnarray*} 6*\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

sein? Oder

$\begin{eqnarray*} 2*(3*\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

?

30.04.2011, 09:06

Teylor

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Oh wie peinlich, habs grad selbst gemerkt. Klar, man addiert doch nicht die Nenner miteinander! LOL Hammer

LOL Hammer

Tja, vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr gesehen oder wie war das. smile

smile

Also vielen dank für die Hilfe. Ich mach dann mal mit den Wendepunkten weiter. Freude

Freude

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