Zwischenkörper Galois [KAB]

29.04.2011, 22:18

tigerbine

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Zwischenkörper Galois [KAB]

Zitat:

Jede Galoiserweiterung L|K vom Grad 60 hat einen Zwischenkörper mit [Z:K]= 4. ja/nein

Jede Galoiserweiterung L|K vom Grad 60 hat einen Zwischenkörper mit [Z:K]= 15. ja/nein

Wie ist hier das Vorgehen? Es ist ja 60=[L:K]=|Aut(L|K)|, so wie für jeden Zwischenkörper [L:Z]=|Aut(L|Z)|. Sollte man also generell untersuchen, dass eine Gruppe der Ordnung 60 immer (mind.) eine Untergruppe vom Index 15 bzw. 4 hat? Mich irritiert, dass im Satz von Galois [L:Z] auftaucht, beim Zwischenkörper [Z:K]. Finde da gerade nicht den Durchblick.

29.04.2011, 23:51

Mystic

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RE: Zwischenkörper Galois [KAB]

Zitat:

Original von tigerbine
Mich irritiert, dass im Satz von Galois [L:Z] auftaucht, beim Zwischenkörper [Z:K]. Finde da gerade nicht den Durchblick.

Mich verblüfft umgekehrt, dass dich das "irritiert", denn es gilt ja der denkbar einfache Zusammenhang

$\begin{eqnarray*} [L:Z][Z:K]=[L:K]=60 \end{eqnarray*}$

Du brauchst also, wenn [Z:K] gegeben ist, nur zum Komplementärteiler bez. 60 übergehen und "deine Welt ist wieder in Ordnung"...

Die Frage, ob es einen Zwischenkörper Z mit [Z:K]=4 bzw. 15 gibt ist also tatsächlich äquivalent zur Frage, ob eine Gruppe der Ordnung 60 mit Sicherheit eine Untergruppe der 15 bzw. 4 enthält... Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.04.2011, 00:17

tigerbine

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RE: Zwischenkörper Galois [KAB]
Ja, irritierend, diese Irritation. Big Laugh

Big Laugh

|G|=60=2²*3*5

Nun sagt Sylow doch, dass es mind. eine 2-Sylowgruppe (Ordnung 4) gibt. Bei Frage 2 würde ich ja sagen.

Sylow sagt auch, dass es mind. eine 3-Sylowgruppe und eine 5-Sylowgruppe gibt. Genauer komme ich mit Sylow auf $\begin{eqnarray*} s_3 \in\{1,10\},~s_5 \in \{1,6\} \end{eqnarray*}$ . Wir haben also immer mind. eine Gruppe $\begin{eqnarray*} U \cong C_3 \end{eqnarray*}$ und eine Gruppe $\begin{eqnarray*} H \cong C_5 \end{eqnarray*}$ . Wenn es von einer genau eine gibt, ist die Normalteilerung und das Komplexprodukt der beiden Untergruppen ist eine Untergruppe der Ordnung 15.

Was nun, wenn beide keine Normalteiler sind. Was ist dann UH? Welche Fragen muss ich mir stellen oder hätte ich mir schon stellen müssen...

30.04.2011, 00:21

Mystic

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RE: Zwischenkörper Galois [KAB]

Zitat:

Original von tigerbine
Welche Fragen muss ich mir stellen oder hätte ich mir schon stellen müssen...

Die wichtigste Frage wäre, was du über die Struktur einer Gruppe der Ordnung 15 prinzipiell aussagen kannst... Ich denke, diesen Punkt haben wir hier schon mal vor längerer Zeit erörtert... Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.04.2011, 00:25

tigerbine

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RE: Zwischenkörper Galois [KAB]
Gruppen der Ordnung 15 [PFA]

Es gibt nur einen Isomorphietyp, $\begin{eqnarray*} C_{15} \end{eqnarray*}$

Also haben wir auch immer eine Untergruppe der Ordnung 15 und einen Zwischenkörper mit [Z:K]= 4.

30.04.2011, 00:30

Mystic

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RE: Zwischenkörper Galois [KAB]
Naja, die Frage ist doch eigentlich, ob wirklich jede Gruppe der Ordnung 60 Elemente der Ordnung 15 enthält...

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30.04.2011, 00:41

tigerbine

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RE: Zwischenkörper Galois [KAB]
Mmh, dann muss ich deinen Hinweis falsch gedeutet haben... Du meintest, wenn es eine Untergruppe dieser Ordnung gibt, dann ist die zyklisch und wir müssen ein Element der Ordnung 15 finden. Ich wollte diese Untergruppe versuchen auch U und H zu bauen. Wobei ich ohne einen Normalteiler erst mal alt aussehe.

Vielleicht gibt es ja ein prominentes Beispiel... 60 erinnert an A5 und da hatten wir auch schon mal was zu... Untergruppe der A5 1 [KAB]

Mmh, kann es sein, dass ich mich bei der Anzahl der Sylowgruppen verrechnet habe? Generell sollte ich mir zu so prominenten Gruppen mal nen Steckbrief machen.

30.04.2011, 00:53

Mystic

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RE: Zwischenkörper Galois [KAB]
Ja genau, die $\begin{eqnarray*} A_5 \end{eqnarray*}$ enthält sicher keine Elemente der Ordnung 15... Ist halt nur die Frage, ob sie auch Galoisgruppe sein kann (=inverses Problem der Galoistheorie), was ich jetzt auch nicht weiß...

30.04.2011, 00:54

tigerbine

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RE: Zwischenkörper Galois [KAB]
Ok, machen wir morgen weiter... Frisch, (fromm) und vielleicht fröhlich.

30.04.2011, 11:07

jester.

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RE: Zwischenkörper Galois [KAB]

Zitat:

Original von Mystic
Ja genau, die $\begin{eqnarray*} A_5 \end{eqnarray*}$ enthält sicher keine Elemente der Ordnung 15... Ist halt nur die Frage, ob sie auch Galoisgruppe sein kann (=inverses Problem der Galoistheorie), was ich jetzt auch nicht weiß...

http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Gal...ernating_groups Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.04.2011, 11:49

Mystic

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RE: Zwischenkörper Galois [KAB]
Aha interessant, dann wäre das ja dann die endgültige Lösung des Problems... Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.04.2011, 14:50

tigerbine

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RE: Zwischenkörper Galois [KAB]
Ok, dann kann ich die Aufgabe vor Beendigung des Skriptes noch nicht (alleine) machen. Weil ich

Zitat:

Hilbert showed that all symmetric and alternating groups are represented as Galois groups of polynomials with rational coefficients.

erst gegenchecken muss. Lesen2

Lesen2

Ihr seid schon durch.

Helft ihr mir derweil bitte noch mal bei diesem Schluss auf die Sprünge. Irgendwo muss ich doch bei Sylow was falsch gemacht haben ... oder nicht weit genug gedacht...

Zitat:

Original von Mystic
Wenn man benützt, dass eine Gruppe der Ordnung 15 notwendigerweise zyklisch ist, da nach den Sylowsätzen alle Sylowgruppen der Ordnung 3 und 5 Normalteiler sind, ist das trivial, denn in A_5 gibt's nur Elemente der Ordnung höchstens 5... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich kam ja auf $\begin{eqnarray*} s_3 \in\{1,10\},~s_5 \in \{1,6\} \end{eqnarray*}$ , mit Sylow 1 und 2. Wie kommt Mystic so schnell auf Normalteiler? Danke

30.04.2011, 16:10

Mystic

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RE: Zwischenkörper Galois [KAB]

Zitat:

Original von tigerbine
Ich kam ja auf $\begin{eqnarray*} s_3 \in\{1,10\},~s_5 \in \{1,6\} \end{eqnarray*}$ , mit Sylow 1 und 2. Wie kommt Mystic so schnell auf Normalteiler? Danke

Au weia, du bist da ganz am falschen Dampfer... Es geht um eine Untergruppe der Ordnung 15, und darum, dass diese notwendigerweise zyklisch sein muss... Daher gäbe es dann in der "großen" Gruppe (die kommt erst jetzt ins Spiel!!!) ein Element der Ordnung 15, was aber bei der $\begin{eqnarray*} A_5 \end{eqnarray*}$ nicht möglich ist...

30.04.2011, 16:18

tigerbine

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RE: Zwischenkörper Galois [KAB]
Strg+Alt+Entf...

Also, wir haben eine Gruppe der Ordnung 60 und fragen uns, ob sie eine Untergruppe der Ordnung 15 hat. Wenn dem so ist, dann ist diese Untergruppe zyklisch [Isomorphietyp Gruppe Ordnung 15] und daher muss es ein Element der Ordnung 15 geben. A5 ist ein Gegenbeispiel.

Zitat:

Wenn man benützt, dass eine Gruppe der Ordnung 15 notwendigerweise zyklisch ist, da nach den Sylowsätzen alle Sylowgruppen der Ordnung 3 und 5 Normalteiler sind, ist das trivial, denn in A_5 gibt's nur Elemente der Ordnung höchstens 5.

Und deine Normalteileraussage bezog sich auf die Untergruppe der Ordnung 15 und nicht auf die Gruppe der Ordnung 60.

Bin ich nun auf dem richtigen Schiff?

22.05.2011, 15:13

tigerbine

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RE: Zwischenkörper Galois [KAB]
Mein lieber Mystic ist verschollen... Tränen

Tränen

Noch mal zusammenfassend.

Zitat:

Jede Galoiserweiterung L|K vom Grad 60 hat einen Zwischenkörper mit [Z:K]= 4. ja/nein

Heißt auf Gruppenebene: Jede Gruppe der Ordnung 60 (die als Galoisgruppe vorkommt - Umkehrproblem) hat eine Untergruppe der Ordnung 15 und damit ein Element der Ordnung 15. |A5|=60, sie kommt als Galoisgruppe vor, sie hat keine Element der Ordnung 15.

Zitat:

Jede Galoiserweiterung L|K vom Grad 60 hat einen Zwischenkörper mit [Z:K]= 15. ja/nein

Heißt auf Gruppenebene: Jede Gruppe der Ordnung 60 (die als Galoisgruppe vorkommt - Umkehrproblem) hat eine Untergruppe der Ordnung 4.

Zitat:

|G|=60=2²*3*5Nun sagt Sylow doch, dass es mind. eine 2-Sylowgruppe (Ordnung 4) gibt. Bei Frage 2 würde ich ja sagen.

23.05.2011, 00:20

jester.

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Das sieht so weit richtig aus. Die Fragen über die Zwischenkörper reduzieren sich zu Fragen über Gruppen/Untergruppen bestimmter Ordnung. Nicht jede Gruppe hat eine Untergruppe der Ordnung 15, nachweislich taucht ein Gegenbeispiel als Galoisgruppe auf.
Andererseits hat jede Gruppe der Ordnung 60 eine Untergruppe der Ordnung 4, das sagt uns Sylow.

23.05.2011, 00:25

tigerbine

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Dank an euch!

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