Galois trivial [KAB]

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Galois trivial [KAB]
Zitat:
Die Gruppe ist trivial. ja/nein

Die Gruppe ist trivial. ja/nein


Hier bräuchte ich zunächst Hilfe, die Körpererweiterung von zu verstehen. Ich kannte das bislang nur so, dass man geschrieben hat. Nun weiß ich nicht, was gemeint ist.

Trivial müsste doch dann bedeuten, dass es keine "echte" Körpererweiterung ist. verwirrt Aber heute lege ich für mich noch nciht mal eine Fingerspitze ins Feuer..
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Die Notation kenne ich auch nicht, meine Vermutung wäre, dass es um die Zerfällungskörper dieser Polynome geht, denn dann hat man ja schließlich sofort eine galoissche Erweiterung.

Und ja, es gilt .
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Galois trivial [KAB]
Genau wie Jester kann ich mit obiger Notation auch nichts anfangen, aber seine Deutung scheint mir noch die plausibelste zu sein...

Wenn du aber schreibst

Zitat:
Original von tigerbine
Trivial müsste doch dann bedeuten, dass es keine "echte" Körpererweiterung ist. verwirrt

so ist das in dieser Allgemeinheit klar falsch... Z.B. gibt es für die Körpererweiterung



trivialerweise nur die Identität als Automorphismus, obwohl sie ja durchaus nichttrivial ist...
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, das was ich geschrieben habe, ist so natürlich nur im Kontext der Galois-Erweiterungen sinnvoll.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke für die Interpretation und die Aufklärung, dass ich es mir mit trivial nicht zu einfach machen darf. Bzw. ich mich da viel präziser ausdrücken muss , von was für einer Erweiterung ich spreche.



Mehr geht in nicht. Also ist und die Erweiterung ist nicht galoisch [Kette jester].

Oder habe ich nun wieder zu früh den Abzug betätigt?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
und die Erweiterung ist nicht galoisch [Kette jester].


Das steht da ja eigentlich nicht. Dort steht nur, dass eine Galoiserweiterung genau dann dem Grundkörper entspricht, wenn die Galois-Gruppe die triviale Gruppe ist.
Wenn wir hier, die Richtigkeit der Interpretation vorausgesetzt, tatsächlich von einem Zerfällungskörper dieses Polynoms die Rede ist, dann ist mit deiner Beobachtung der gesuchte Körper größer als und folglich ist die Galoisgruppe nicht trivial.

Übrigens kann man hier, wieder die Richtigkeit der Interpretation vorausgesetzt, auch tatsächlich von einer Galoiserweiterung ausgehen, denn wir haben wieder Charakteristik 0, somit separabel, und Zerfällungskörper von Polynomen sind ziemlich offensichtlich normale Erweiterungen. Es ist eine Erweiterung sogar genau dann normal, wenn sie Zerfällungskörper einer Familie von Polynomen über dem Grundkörper ist.
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, bei ersterem wieder zu nachlässig in der Formulierung.

Zitat:
Übrigens kann man hier, wieder die Richtigkeit der Interpretation vorausgesetzt, auch tatsächlich von einer Galoiserweiterung ausgehen, denn wir haben wieder Charakteristik 0, somit separabel, und Zerfällungskörper von Polynomen sind ziemlich offensichtlich normale Erweiterungen. Es ist eine Erweiterung sogar genau dann normal, wenn sie Zerfällungskörper einer Familie von Polynomen über dem Grundkörper ist.


Also wir können hier davon ausgehen, dass mit der Notation eine Galois Erweiterung gemeint ist - oder die Erweiterung tatsächlich galoisch ist - , stellen aber fest, dass die zugehörige Automorphsimengruppe nicht trivial ist. Daher die Frage mit nein beantworten.

Edit: Zur Definition scheint die Interpretation richtig zu sein.

[attach]19394[/attach]
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Noch was dazu gefunden .. Passt aber nicht zu meinen Überlegungen... verwirrt

[attach]19397[/attach]
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Galois trivial [KAB]
Zitat:
Original von tigerbine
Zitat:
Die Gruppe ist trivial. ja/nein



Kehren wir noch mal an den Anfang zurück. Es ist , wobei L ein Zerfällungskörper von ist. Nun kann ich das Polynom ja über C zerlegen

(*)

Das Polynom ist also separabel [aber nicht irreduzibel über Q] und L|K ist eine Galoiserweiterung. Daher gilt: . Ich hätte nun gesagt es ist und , denn und .

Zitat:
jester:
.


Damit könnte man - da es eine Multiple Choice Frage ist - nein ankreuzen.

Um das mit der Permutation der Nullstellen zu verwenden, müßte ich L dann erst mal als primitive Körpererweiterung darstellen? Oder darf man auch auf den irreduziblen Faktoren permutieren? Im Skript, das ich gerade lese, steht nur erstere Variante. Es ist aber auch sehr reduziert. Und warum steht (Bild vorheriges post) dass die Aut(L|Q) trivial ist.... verwirrt
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn keine weiter Begründung dabeisteht, kann es auch mal ein Druckfehler sein. Ich kann der Schreibweise weiterhin keine andere Bedeutung zuordnen, als für einen Zerfällungskörper zu stehen.

Das beliebige Permutieren der Nullstellen wird hier nicht funktionieren, denn kann kein Automorphismus sein, wegen , wenn diesen hypothetischen Automorphismus bezeichnet ( bleibt ja immer fix).

In der Tat sind die einzig möglichen Permutationen und , die Galoisgruppe ist hier also . Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Immer die kleinsche. Das meinte ich mit "auf den 2 irreduzieblen" Permutieren. Mit einem primitven Element müßte man dann wieder alle nehmen können, aber auch auf V4 kommen.

Es ist der Zerfällungskörper gemeint. Das steht im ersten Bild. Meinst du im zweiten ist es ein Druckfehler?

Also falsch.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Also falsch.


Ich denke das haben wir zur Genüge dargelegt.

Wie das mit so einem primitiven Element funktioniert, kann ich so aus dem Stegreif nicht sagen. Ich überlege oder recherchiere mal.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Werde das beim Autor rückfragen. Wollte nur vorher sicher sein. Danke.

Das mit dem primitiven dachte ich wie hier:

Minimalpolynom über Q (1) [KAB]
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