Gruppenhomomorphismus / abelsche Gruppe - Seite 3

01.05.2011, 02:59

Pascal95

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Zitat:

Ich verstehe nicht, was Du mir sagen willst und bleibe nach wie vor mit meinem Verweis auf den Ausgangspunkt des Threads.

Ok, aber du meinst:

Zitat:

Der Fehler ist, die Beziehung $\begin{eqnarray*} (a \circ b)^{-1} = a^{-1} \circ b^{-1} \end{eqnarray*}$ als allgemein in jeder Gruppe geltend anzunehmen. Sie gilt eben nur, genau dann wenn die Inversion ein Homomorphismus ist und die Aufgabe lautet ja zu zeigen, dass dies Äquivalent zur Kommutativität einer Gruppe ist.

Aber ich denke das gilt immer.... oder WIE??

Zitat:

Vielleicht schläfst Du mal eine Nacht drüber.

Das hab ich mir vor 3 Stunden auch schon vorgenommen...

01.05.2011, 03:01

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pascal95
Das hab ich mir vor 3 Stunden auch schon vorgenommen...

Damit sollte für heute alles gesagt sein. Gute Nacht. Wink

Wink

01.05.2011, 03:03

Pascal95

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Ja ok, gute Nacht!

Wir sehen uns morgen ...

Danke für die Hilfe!

01.05.2011, 14:27

Pascal95

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So, jetzt bin ich wieder bereit...

So ganz klar ist es mir noch nicht...
Warum schreibt Wikipedia das anders?

Du meinst ja:

Zitat:

Der Fehler ist, die Beziehung $\begin{eqnarray*} (a \circ b)^{-1} = a^{-1} \circ b^{-1} \end{eqnarray*}$ als allgemein in jeder Gruppe geltend anzunehmen...

Allerdings meint Wikipedia doch auch, dass man das immer machen kann.

Zitat:

Gegeben seien zwei Gruppen $\begin{eqnarray*} (G, \circ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (H, \star) \end{eqnarray*}$ . Eine Funktion $\begin{eqnarray*} \phi\colon G\to H \end{eqnarray*}$ heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle Elemente $\begin{eqnarray*} x, y \in G \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \phi(x \circ y) = \phi(x) \star \phi(y) \end{eqnarray*}$ .

Aber,...

Zitat:

Sie gilt eben nur, genau dann wenn die Inversion ein Homomorphismus ist.

verwirrt

01.05.2011, 14:38

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pascal95
Allerdings meint Wikipedia doch auch, dass man das immer machen kann.

Zitat:

Gegeben seien zwei Gruppen $\begin{eqnarray*} (G, \circ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (H, \star) \end{eqnarray*}$ . Eine Funktion $\begin{eqnarray*} \phi\colon G\to H \end{eqnarray*}$ heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle Elemente $\begin{eqnarray*} x, y \in G \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \phi(x \circ y) = \phi(x) \star \phi(y) \end{eqnarray*}$ .

Nein, in diesem Satz steht nichts davon, etwas immer machen zu können. Es ist eine Definition. Man nennt eine Abbildung Homomorphismus, wenn eine gewisse Eigenschaft gilt.

Sicher kann man die Abbildung $\begin{eqnarray*} G \to G, a \mapsto a^{-1} \end{eqnarray*}$ betrachten, aber im allgemeinen ist sie kein Homomorphismus. Betrachte dazu eine nichtabelsche Gruppe Deiner Wahl, z.B. $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ , und rechne ein bisschen mit den Elementen herum.

Diese Abbildung $\begin{eqnarray*} G \to G, a \mapsto a^{-1} \end{eqnarray*}$ ist eben genau dann ein Homomorphismus, wenn $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ kommutativ ist. Genau dies zu Beweisen war die Aufgabe!

01.05.2011, 14:43

Pascal95

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Aha,

Idee!

Zitat:

Diese Abbildung $\begin{eqnarray*} G \to G, a \mapsto a^{-1} \end{eqnarray*}$ ist eben genau dann ein Homomorphismus, wenn $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ kommutativ ist. Genau dies zu Beweisen war die Aufgabe!

Das macht es klar...

Wikipedia schreibt nur darüber, wie ein Gruppenhomomorphismus definiert ist, also wann eine Abbildung ein Gruppenhomomorphismus ist. Und zwar, wenn diese Beziehung gilt $\begin{eqnarray*} \phi(x \circ y) = \phi(x) \star \phi(y) \end{eqnarray*}$ .
Nur, dass die gilt, war uns ja garnicht klar, mussten wir beweisen...

Zitat:

Sicher kann man die Abbildung $\begin{eqnarray*} G \to G, a \mapsto a^{-1} \end{eqnarray*}$ betrachten, aber im allgemeinen ist sie kein Homomorphismus. Betrachte dazu eine nichtabelsche Gruppe Deiner Wahl, z.B. $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ , und rechne ein bisschen mit den Elementen herum.

Ok, das müsste ich mir noch ansehen....
Symmetriegruppe, oder?..

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01.05.2011, 14:51

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pascal95
Aha, Idee!

Idee!

Zitat:

Diese Abbildung $\begin{eqnarray*} G \to G, a \mapsto a^{-1} \end{eqnarray*}$ ist eben genau dann ein Homomorphismus, wenn $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ kommutativ ist. Genau dies zu Beweisen war die Aufgabe!

Das macht es klar...

Wikipedia schreibt nur darüber, wie ein Gruppenhomomorphismus definiert ist, also wann eine Abbildung ein Gruppenhomomorphismus ist. Und zwar, wenn diese Beziehung gilt $\begin{eqnarray*} \phi(x \circ y) = \phi(x) \star \phi(y) \end{eqnarray*}$ .
Nur, dass die gilt, war uns ja garnicht klar, mussten wir beweisen...

Ja, ganz genau. Nicht jede Abbildung zwischen Gruppen ist eben ein Homomorphismus.

Zitat:

Original von Pascal95

Zitat:

Sicher kann man die Abbildung $\begin{eqnarray*} G \to G, a \mapsto a^{-1} \end{eqnarray*}$ betrachten, aber im allgemeinen ist sie kein Homomorphismus. Betrachte dazu eine nichtabelsche Gruppe Deiner Wahl, z.B. $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ , und rechne ein bisschen mit den Elementen herum.

Ok, das müsste ich mir noch ansehen....
Symmetriegruppe, oder?..

Symmetrische Gruppe

01.05.2011, 14:52

Pascal95

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Da werd ich mal reingucken smile

smile

Danke für deine Hilfe Gott

Gott

01.05.2011, 14:59

zweiundvierzig

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Kein Problem. Wink

Wink

01.05.2011, 16:23

Pascal95

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Da du mir nun so gut geholfen hast und ich das Thema viel besser verstanden habe, schrieb ich mir darüber mal eine kleine Zusammenfassung.

Wenn du möchtest, kannst du sie mal überfliegen und prüfen, ob das so korrekt ist: [attach]19411[/attach]

Edit:
Ist in unserem Fall $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Endomorphismus?
Ich glaube ja, wenn ich die Definition richtig verstanden habe.

01.05.2011, 18:49

zweiundvierzig

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Hi Pascal,

sehr fleißig. Im großen dürfte das alles stimmen, aber an einigen Stellen sind die Formulierungen durchaus etwas unglücklich gewählt.

* "das es sich um zwei unterschiedliche Gruppen handelt": Nein, sie müssen eben nicht unterschiedlich sein.
* Du kannst das danach abkürzen, indem Du sagst, dass man im Falle $\begin{eqnarray*} (H,\bullet) = (G, \circ) \end{eqnarray*}$ einen Homomorphismus auch Endomorphismus nennt. Das ganze ist ein Spezialfall des Begriffs Homomorphismus, keine Abänderung davon.
* Das ist keine wirkliche Aussage: "Man kann schreiben, dass ein Objekt Element der Menge ist oder das es Element der
daraus gebildeten Gruppe ist."
* Eine Aussage ist nicht "mathematischer" aufgeschrieben, nur weil man das Wort "genau dann, wenn" durch $\begin{eqnarray*} \iff \end{eqnarray*}$ ersetzt. Den Satz würde ich daher streichen.
* Der Teil "also darf man x \circ y = y \circ x immer voraussetzen" ist unnötig.
* Den Nachsatz "auch wenn es sich nicht um einen Homomorphismus handelt" würde ich auch streichen.
* Wenn Du das Inverse im Artikel definierst, solltest Du das vielleicht schon am Anfang tun, schließich baust Du von Beginn an darauf auf.
* Die Umformung im Beweis fände ich hübscher, wenn Du einfach fortlaufend nach den Gleichheitszeichen den neuen Ausdruck schreiben würdest, nicht $\begin{eqnarray*} =e \end{eqnarray*}$ in jeder Zeile.
* Den Beweis von der ersten Implikation ( $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ abelsch $\begin{eqnarray*} \implies \end{eqnarray*}$ Inversion ist Homomorphismus) kann man ab "Dass das richtig ist..." noch etwas kürzer aufschreiben. Die Inversen kommutieren, weil alle Elemente kommutieren. Fertig. Wenn Du sagst, Du möchtest $\begin{eqnarray*} A \implies B \end{eqnarray*}$ beweisen, musst Du nicht nochmal daneben schreiben "Wir setzen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ voraus und wollen $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ zeigen." Genau das drückt der Pfeil doch schon aus... smile

smile

* Am Ende hast Du ziemlich abgegkürzt mit "und darauf folgt, dass man vertauschen darf". Das hatten wir doch ordentlich nachgerechnet.

Insgesamt hast Du die Argumentation bis auf die letzte Stelle sehr deutlich gemacht, so wie wir es hier ja auch erarbeitet haben. Der nächste Schritt in einem mathematischen Text, ist, die Abschnitte gemäß Satz/Definition/Beweis zu gliedern, wie Du es ja auch aus den Büchern kennst. Aber eins nach dem anderen. Das waren jetzt nun meine ersten Anregungen, ich hoffe, Du kannst etwas damit anfangen.

Viele Grüße,
zweiundvierzig

Edit: Nachträglich nochmal in Ergänzung zu Elvis kann ich auch nochmal bestätigen: ich glaube, Du hast nun die Begriffe und Rechnungen wirklich verstanden. Und das ist erstmal das Wichtigste. Freude

Freude

Lass' Dich nicht abschrecken, dass ich noch ein paar Zeilen Sprach- und Formkritik geäußert habe, dass soll Dir ja auch zugute kommen. Der Kern sitzt jedenfalls. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.05.2011, 18:55

Elvis

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@Pascal95
Das hast du sehr hübsch gemacht, und offenbar auch verstanden. Im allgemeinen formuliert man solche Ergebnisse etwas kürzer, und "Voraussetzung" schreibt sich immer mit einem r.

01.05.2011, 19:08

Pascal95

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Hallo, ihr beiden!

Vielen, vielen Dank für Eure Kommentare !

Nun bin ich mir sicher, dass ich es verstanden habe. smile

smile

Danke an Elvis, der mir am Anfang geholfen hat und danke an zweiundvierzig, der dann übernommen hat, weil Elvis offline war. Ihr habt mir sehr gut geholfen und den richtigen Weg gezeigt, wie man etwas ordentlich formuliert und aufschreibt.

Allein schon, dass Ihr Euch meinen Thread angesehen habt, und darauf reagiert habt, finde Ich super. Dann habt Ihr Euch sogar noch meine "Zusammenfassung" angesehen. Ich werde noch die Verbesserungsvorschläge von zweiundvierzig einbauen und wundere mich das Microsoft Word, in dem ich die Datei erstellt habe, meinen Rechtschreibfehler, den Elvis bemerkt hat, nicht gefunden hat.

Allerdings muss ich sagen, dass ich das vor allem für mich geschrieben habe, um es in meinen Mathe-Ordner zu speichern und bei Bedarf mit Link an dieses Forum wieder reinschaue.

Dass ich erst in die 9te Klasse gehe, ist ja schon bekannt Big Laugh

Big Laugh

Vielen Dank ! Gott

Gott

01.05.2011, 19:12

Elvis

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Gratulation, ich bin beeindruckt, denn für einen Schüler hast du schon ein erhebliches Maß an Verständnis entwickelt. Weiter so. Wink

Wink

01.05.2011, 19:14

zweiundvierzig

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Kann mich nur anschließen. Freude

Freude

01.05.2011, 19:50

Pascal95

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Wenn man es sich noch mal ansehen möchte...
[attach]19417[/attach]

Ganz nebenbei möchte ich fragen, ob meine Beweisführung für " $\begin{eqnarray*} (x^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt in jeder Gruppe" richtig ist (siehe PDF Anhang)...

[attach]19418[/attach]

01.05.2011, 19:53

zweiundvierzig

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In Deinem zweiten Dokument kannst Du nicht von $\begin{eqnarray*} x = (x^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ ausgehen, wenn Du das beweisen willst.

Edit: Wort ergänzt.

01.05.2011, 20:08

Pascal95

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Sind die Überlegungen dann soweit richtig:
[attach]19419[/attach]

Wenn ja, werde ich das mal ordentlich aufschreiben...

01.05.2011, 20:27

zweiundvierzig

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Was Du mit dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ willst, weiß ich nicht, der Rest stimmt.

01.05.2011, 20:55

Pascal95

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Das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist eine Hilfsvariable...
Ich werde das mal anders schreiben...

01.05.2011, 21:16

Pascal95

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Dann hab ichs hier mal ordentlich:

[attach]19422[/attach]

Auch schön formuliert...

01.05.2011, 21:45

zweiundvierzig

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Sehr schön. Freude

Freude

01.05.2011, 21:47

Pascal95

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Jo, danke. Die nächste Frage wird nicht lange auf sich warten lassen...

Ich weiß ja, wo ich Euch finde smile

smile

Übringens danke für die PN, ich hab geantwortet.

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