Holomorphie eines best. Integrals zeigen

30.04.2011, 14:03	Kurvenliebhaber	Auf diesen Beitrag antworten »
Holomorphie eines best. Integrals zeigen Hallo Warum ist folgender Ausdruck holomorph? $\begin{eqnarray} \int_n^{n+1} \! \left(\frac{1}{n^s}-\frac{1}{x^s} \right) \, dx \end{eqnarray}$ Dabei ist s komplex mit Re(s) > 1 und x reell. Klar ist mir, dass der Integrand holomorph ist, aber das Integral stört mich.
30.04.2011, 15:44	Kurvenliebhaber	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir kam gerade ne Idee: Ich könnte argumentieren, dass die Menge Re(s)>0 sternförmig ist, daher der Integrand (als hol Fkt.) eine (möglicherweise nicht-hol.) Stammfkt besitzt. Hilft mir das?
03.05.2011, 18:47	Kurvenliebhaber	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat inzwischen jmd ne Idee?
05.05.2011, 09:40	Kurvenliebhaber	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht das so? Da $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^s} \end{eqnarray}$ unabh. von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist, brauche ich nur die Holomorphie von $\begin{eqnarray} \int_n^{n+1}{\frac{1}{x^s}dx} \end{eqnarray}$ zeigen. Substitution $\begin{eqnarray} y=x^{-1} \end{eqnarray}$ ergibt dann: $\begin{eqnarray} \int_n^{n+1}{\frac{1}{x^s}dx} = -\int_{1/n}^{1/(n+1)}{y^s (y^{-2}dy)} = \int_{1/(n+1)}^{1/n}{y^{s-2}dy} = \left[ \frac{1}{s-1}y^{s-1} \right]_{1/(n+1)}^{1/n} = \frac{1}{s-1}\left( \frac{1}{n}^{s-1} - \frac{1}{n+1}^{s-1} \right) \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \Re(s)>1 \end{eqnarray}$ ist, ist der letzte Ausdruck holomorph als Komposition hol. Funktionen auf diesem Gebiet. Wenn es so geht, gibt es eine einfachere Art die Hol. zu zeigen?

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