Gerade und ungerade Inversionszahl

30.04.2011, 14:58	extasic	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerade und ungerade Inversionszahl Hallo, ich bin gerade a nder folgenden Aufgabe: In $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ gibt es für $\begin{eqnarray} n \geq 2 \end{eqnarray}$ gleich viele Permutationen $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ mit # $\begin{eqnarray} Inv(\pi) \end{eqnarray}$ gerade = # $\begin{eqnarray} Inv(\pi) \end{eqnarray}$ ungerade. Wir haben in der Vorlesung zwei Definitionen erstellt: $\begin{eqnarray} a_{n,k} = \{ \pi \in S_n \| \; \|Inv(\pi)\| = k \} \\<br /> I_n(t) = \sum\limits_{k=0}^n a_{n,k} \cdot t^k \end{eqnarray}$ Außerdem haben wir bewiesen, dass $\begin{eqnarray} I_n(t) = (1+t)\cdot(1+t+t^2)\cdot(1+t+t^2+\cdots+t^{n-1}) \end{eqnarray}$ . Nun meine Überlegung: Setze ich t = (-1), ist $\begin{eqnarray} I_n(t) = I_n(-1) \end{eqnarray}$ genau dann 0, wenn $\begin{eqnarray} \pi \in S_n \end{eqnarray}$ gleich viele gerade und ungerade Permutationen enthält. Da aber für jedes $\begin{eqnarray} n \geq 2 \end{eqnarray}$ der Term (1+t) = 0 im Produkt enthalten ist, ist das Ergebnis auf jeden Fall = 0, womit die Aussage bewiesen wäre. Irgendwie kommt mir das "zu einfach" vor, da hab ich doch sicherlich etwas übersehen, oder? Vielen Dank im Voraus!

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