schwache Ableitungen im Sobolevraum

30.04.2011, 13:33	squall	Auf diesen Beitrag antworten »
schwache Ableitungen im Sobolevraum Hallo, ich versuche gerade, eine Stelle im Skript nachzuvollziehen. Es geht darum, herauszufinden, unter welchen Voraussetzungen Funktionen im Sobolevraum liegen. Für Funktionen im Sobolevraum gilt: $\begin{eqnarray} u\in L^p \end{eqnarray}$ : u besitzt $\begin{eqnarray} \forall i=1,...n \end{eqnarray}$ schwache Ableitungen $\begin{eqnarray} D_{i}u \in L^p \end{eqnarray}$ . Wir haben nun die Fundamentallösung der Laplace-Gleichung $\begin{eqnarray} Phi_{n}=\frac{1}{(N-2)\cdot w_{N}}\cdot \frac{1}{\| x \|^{(N-2)}}<br /> \end{eqnarray}$ . Diese Funktion besitzt die schwachen partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray} D_{i}Phi_{N}=-(N-2)\frac{x_{i}}{\| x \|^{N}} \end{eqnarray}$ . Nun steht im Skript: $\begin{eqnarray} Phi_{n} \end{eqnarray}$ ist Element von $\begin{eqnarray} W^{1,p} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} 1\leq p<\frac{N}{N-1} \end{eqnarray}$ . Woher kommt diese Abschätzung von p? Das p müsste aus einer Abschätzung von dieser Gleichung kommen: $\begin{eqnarray} \int \! \| D_{i}u \|^{p} \, dx<\infty \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \int \! \| -(N-2)\frac{x_{i}}{\| x \|^{N}} \|^{p} \, dx<\infty \end{eqnarray}$ , aber ich komm einfach nicht darauf!

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