Produkte von Operatoren

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gigakloputzer Auf diesen Beitrag antworten »
Produkte von Operatoren
Meine Frage:
Hallo,
ich habe ein Problem mit einer Aufgabe zum Thema Eigenwerte vom Produkt zweier rechteckiger Matrizen.
Es seien und . Wir sollen zeigen, dass .
Weiterhin sollen wir in der nächsten Teilaufgabe zeigen, dass wenn und quadratisch sind, gilt .

Meine Ideen:
Zur ersten Teilaufgabe habe ich mir zuerst die Frage gestellt was diese Null da zu tun haben soll. Da mir nichts dazu eingefallen ist, habe ich sie erstmal beiseite geschoben. Als Aufgabe sehe ich jetzt zu zeigen, dass die Eigenwerte der charakteristischen Polynome der beiden gleich sind. Wenn ich mir jetzt also die Produkte ansehe, so liefert mir AB eine Matrix und eine Matrix. Die charakterisitschen Polynome der beiden müssten also höchstens den Grad m respektive n haben. Folglich haben sie höchstens repsektive Nullstellen und damit Eigenwerte. Ich nehme also oBdA an, dass ist. Das charakteristische Polynom von hat dann die Form
. Entsprechend bekommt man das charakteristische Polynom von , nämlich
.
Und hier hängt die Sache. Ich habe zwei Ideen. Zum einen, wenn die Eigenwerte gleich sind, dann könnte ich doch die Polynome gleichsetzen und prüfen ob sie sich gegenseitig aufheben. Doch da der Grad des einen größer war, als der des anderen muss ja etwas übrig bleiben. Außerdem kenne ich die Koeffizienten zum Teil nicht.
Die zweite Idee war, dass und . In diesem Fall würde sich mit beim Gleichsetzen aufheben, wenn bzw. wenn die Vorzeichen der Determinanten übereinstimmen. Dann könnte ich ja auf einer Seite ein ausmultiplizieren, sodass ich auf der einen Seite mal einem Polynom des Grades stehen haben würde. Dann wäre eine Nullstelle die Null und der Teil in der Aufgabe mit der Menge hätte sich geklärt.

Die zweite Teilfaufgabe wollte ich zuerst über die Tatsache lösen, dass die Eigenwerte ähnlicher Matrizen gleich sind. Denn es ist ja
. Allerdings ist mir dann eigefallen, dass ich ja nicht weiß, ob die beiden tatsächlich invertierbar sind. Ich würde mal spontan vermuten, dass mir der erste Aufgabenteil sehr bei der Lösung helfen wird Augenzwinkern .
Soviel zu meinen Ideen, ich hoffe ich habe zumindest in die richtige Richtung gedacht...
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Produkte von Operatoren
Das sind schon eine Menge Ideen, bei denen ich aber leider gerade nichts sehe, was sich weiterverwenden lässt.

Ich würde einfach über die Eigenvektoren gehen.
Sei und mit . Versuche, einen Vektor zu konstruieren, mit .

Das mit der Null wird sich dann auch noch finden. Das hängt damit zusammen, dass eines der Produkte regulär sein könnte und das andere nicht.

Gruß,
Reksilat.
 
 
gigakloputzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Produkte von Operatoren
Zitat:
Original von Reksilat
Das sind schon eine Menge Ideen, bei denen ich aber leider gerade nichts sehe, was sich weiterverwenden lässt.

toll -_-''

Zitat:
Original von Reksilat
Ich würde einfach über die Eigenvektoren gehen.
Sei und mit . Versuche, einen Vektor zu konstruieren, mit .

Naja ich kann ja ganz einfach von links mit beiden Seiten multiplizieren. Dann liefert mir auf der linken Seite einen Vektor . Das gleiche Spiel kann ich auf der linken Seite machen und bekomme dort ebenfalls den Vektor . Damit ist dann der erste Teil schon gezeigt oder wie?

Übrigens vielen Dank für die Hilfe!
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Produkte von Operatoren
Ja, aber Du musst aufpassen, dass ist. Das ist schließlich die Voraussetzung für einen Eigenvektor.
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