Stetigkeit von Metriken - Seite 2

01.05.2011, 13:52

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau. Wir wollen also für $\begin{eqnarray*} (a_n) \to a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n) \to b \end{eqnarray*}$ die Differenz $\begin{eqnarray*} |d(a_n, b_n) - d(a,b)| \end{eqnarray*}$ klein bekommen.

Wir wissen, für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gilt für fast alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} d(a_n, a) < \varepsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d(b_n, b) < \varepsilon \end{eqnarray*}$ . Wie geht's nun weiter? Am Anfang des Threads hattest Du schon einen Ansatz geäußert.

01.05.2011, 15:18

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit von Metriken
Ich wähle $\begin{eqnarray*} a_n \neq b_n \end{eqnarray*}$ .

Es gibt zwei Natürliche Zahlen
$\begin{eqnarray*} N_1,N_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d(a_n,a) \leq Epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq N_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d(b_n,b)\leq Epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq N_2. \end{eqnarray*}$
und dann mit der Dreiecksungleichung lösen.
$\begin{eqnarray*} d(a_n,b_n) \leq d(a_n,a)+d(b_n,n) \leq 2Epsilon=d(a,b). \end{eqnarray*}$

ist das so ok?

01.05.2011, 15:20

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit von Metriken
bzw. so? oben hat sich ein Tipfehler eingeschlichen;

Es gibt zwei Natürliche Zahlen
$\begin{eqnarray*} N_1,N_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d(a_n,a) \leq Epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq N_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d(b_n,b)\leq Epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq N_2. \end{eqnarray*}$
und dann mit der Dreiecksungleichung lösen.
$\begin{eqnarray*} d(a_n,b_n) \leq d(a_n,a)+d(b_n,b) \leq 2Epsilon=d(a,b). \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 15:26

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Du versuchst wieder, nur $\begin{eqnarray*} d(a_n, b_n) \end{eqnarray*}$ abzuschätzen. Ich habe Dir doch oben den Ansatz geliefert, wir wollen $\begin{eqnarray*} |d(a_n, b_n) - d(a,b)| \end{eqnarray*}$ abschätzen (Erinnerung an Folgenkonvergenz)!

Starte bitte mit diesem Term. Die Dreiecksungleichung ist in der Tat auch der nächste Schritt, aber Du musst sie schon richtig anwenden. Wie kann man denn als ersten Schritt den Term $\begin{eqnarray*} d(a_n,b_n) \end{eqnarray*}$ abschätzen? (Und nein, die Reiecksungleichung besagt nicht $\begin{eqnarray*} d(a_n, b_n) \leq d(a_n, a) + d(b_n,b) \end{eqnarray*}$ .)

01.05.2011, 15:32

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

Stetigkeit von Metriken
$\begin{eqnarray*} |d(a_n, b_n) - d(a,b)|< \varepsilon \end{eqnarray*}$
?

01.05.2011, 15:36

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Sowas in der Art wollen wir am Ende hinkriegen, ja. Aber das müssen wird doch erst bewiesen! Ich habe bereits gesagt, die Dreiecksungleichung ist der richtige Weg. Wie können wir sie auf $\begin{eqnarray*} d(a_n, b_n) \end{eqnarray*}$ anwenden?

Das ganze funktioniert nicht, wenn Du nicht auf meine Hinweise eingehst...

Anzeige

01.05.2011, 15:52

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

Stetigkeit von Metriken
$\begin{eqnarray*} |d(a_n, b_n) - d(a,b)| = |d(a_n,b_n) - d(a_n, b) + d(a_n, b) - d(a, b)| = |d(a_n(b_n- b)) + d(b(a_n - a))| \end{eqnarray*}$
so?

01.05.2011, 15:54

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit von Metriken
nein es muss doch ungleich heissen...

01.05.2011, 15:55

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit von Metriken

Zitat:

Original von maru
$\begin{eqnarray*} |d(a_n(b_n- b)) + d(b(a_n - a))| \end{eqnarray*}$

Das ergibt keinen Sinn. Und Dein Ansatz war auch nicht die Dreiecksungleichung...

01.05.2011, 15:56

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit von Metriken
$\begin{eqnarray*} |d(a_n, b_n) - d(a,b)| = |d(a_n,b_n) - d(a_n, b) + d(a_n, b) - d(a, b)| \leq |d(a_n(b_n- b)) + d(b(a_n - a))| \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 16:02

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit von Metriken
$\begin{eqnarray*} |d(a_n,b_n) - d(a, b)| = | d(a_n,a) - d(b_n, b)| <= |d(a_n,a) + |d(b_n,b)| = ... \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 16:08

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich

Wie lautet die Dreiecksungleichung allgemeinen für einen metrischen Raum $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ ?

Wenn Du das sauber hingeschrieben hast, betrachten wir den Term $\begin{eqnarray*} d(a_n,b_n) \end{eqnarray*}$ und versuchen die Dreiecksungleichung in korrekter Form darauf anzuwenden.

01.05.2011, 16:13

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

Stetigkeit von Metriken
In einem metrischen Raum $\begin{eqnarray*} \left(X,d\right) \end{eqnarray*}$ wird als Axiom für die abstrakte Abstandsfunktion verlangt, dass die Dreiecksungleichung in der Form

$\begin{eqnarray*} d(x,y)\leq d(x,z) + d (z,y) \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} x,y,z \in X \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. In jedem metrischen Raum gilt also per Definition die Dreiecksungleichung.

01.05.2011, 16:38

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, richtig. Unser $\begin{eqnarray*} d(x,y) \end{eqnarray*}$ soll jetzt $\begin{eqnarray*} d(a_n, b_n) \end{eqnarray*}$ sein, denn dies wollen wir abschätzen. Was bietet sich nun als "Zwischenpunkt" $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ an?

01.05.2011, 16:42

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit von Metriken
kann ich es dann nicht so machen? nehme die Dreiecksungl. und setze ein;
$\begin{eqnarray*} d(x,y)\leq d(x,z) + d (z,y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |d(a_n,b_n) - d(a, b)| \leq| d(a_n,b_n) - d(a_n,a)+ d(a_n,a) + d(a,b)| \leq <br /> |d(a_n,b_n) - d(a, b)|... \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 16:44

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit von Metriken
bzw. so;

$\begin{eqnarray*} |d(a_n,b_n) - d(a, b)| \leq| d(a_n,b_n) - d(a_n,a)+ d(a_n,a) - d(a,b)| \leq <br /> |d(a_n,b_n) - d(a, b)|... \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 16:49

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit von Metriken
Ok ist falsch

01.05.2011, 17:05

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast wieder nur einen Teleskoptrick gemacht: etwas addiert und gleich wieder abgezogen...

01.05.2011, 17:38

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

Stetigkeit von Metriken
kein ahnung was z ist;
es muss jedenfalls $\begin{eqnarray*} z \geq a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \geq b_n \end{eqnarray*}$ sein.
d.h. z.b.
$\begin{eqnarray*} d(a_n,b_n)\leq d(a_n,b) + d (b,b_n). \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 17:46

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit von Metriken

Zitat:

Original von maru
$\begin{eqnarray*} d(a_n,b_n)\leq d(a_n,b) + d (b,b_n). \end{eqnarray*}$

Ganz genau. Was können wir jetzt mit der rechten Seite machen?

01.05.2011, 17:57

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit von Metriken
cool,
es nuss doch gelten;

Wie in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ heißt eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ in einem metrischen Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ konvergent gegen den Grenzwert $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ , falls

$\begin{eqnarray*} \displaystyle \forall \varepsilon >0 \exists n_0\in\mathbb{N}\forall n\geq n_0: d(x_n,x)<\varepsilon . \end{eqnarray*}$

also setze ich die Unlgleichung kleiner Epsilon:

$\begin{eqnarray*} d(a_n,b_n)\leq d(a_n,b) + d (b,b_n)<\varepsilon \end{eqnarray*}$

?

01.05.2011, 18:17

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Langsam, das $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ kennen wir noch nicht näher. Wir wissen $\begin{eqnarray*} d(a_n, a), d(b_n, b) < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für genügend große $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und:
$\begin{eqnarray*} d(a_n,b_n)\leq d(a_n,b) + d (b,b_n) \end{eqnarray*}$
Jetzt wollen wir irgendwie noch das $\begin{eqnarray*} d(a_n, a) \end{eqnarray*}$ daraus erhalten. Wie machen wir das?

Edit: Tippfehler in Formel verbessert

01.05.2011, 18:27

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

Stetigkeit von Metriken
ich muss ebenfalls $\begin{eqnarray*} d(a_n,b) + d (b,b_n) \end{eqnarray*}$ abschätzen oder?

und wenn nicht gegen $\begin{eqnarray*} Epsilon, \end{eqnarray*}$ dann gegen einen weiteren Tern.

Oder ich forme um und ziehe was auf die linke Seite der Ungleichung...

01.05.2011, 18:30

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Guck doch mal, was Du mit einer weiteren Anwendung der Dreiecksungleichung reißen kannst.

01.05.2011, 18:53

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

Stetigkeit von Metriken
Soll ich die Dreiecksungleichung nochmal auf die rechte seite der Ungleichung anwenden?

01.05.2011, 18:54

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Auf einen bestimmten Term dort, ja. Ich habe es oben schon angedeutet.

01.05.2011, 19:02

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

Stetigkeit von Metriken
wirklich keine ahnung

01.05.2011, 19:05

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Meine drei vorangegangenen Postings deuten ziemlich stark an, was der nächste Schritt ist. Bitte lass' Dir das nochmal durch den Kopf gehen, vielleicht bis später oder morgen und poste dann Deinen weiteren Ansatz. Gerade ist das Wetter draußen doch auch so schön. Wink

Wink

01.05.2011, 19:07

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

Stetigkeit von Metriken
Ok, ich danke dir. Muss das heut noch fertig kriegen.

01.05.2011, 19:17

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit von Metriken
versuche die Dreiecksungl. auf diesen Tern anzuwenden, $\begin{eqnarray*} d(b_n, b), \end{eqnarray*}$ denn nur diesen Tern habe ich ja auf der rechen Seite zu verfügung, wenn ich $\begin{eqnarray*} d(a_n,a) \end{eqnarray*}$ bestimmen muss

Danke nochmal Wink

Wink

01.05.2011, 19:20

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich wollen wir doch auf etwas mit sowohl $\begin{eqnarray*} d(a_n, a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d(b_n, b) \end{eqnarray*}$ kommen, denn beide stehen Doch mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ in Relation...

01.05.2011, 19:26

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

Stetigkeit von Metriken
dann bleibt mir nur noch dieser Tern übrig;

$\begin{eqnarray*} d(a_n,b) \end{eqnarray*}$ den ich abschätzen könnte oder?

01.05.2011, 19:27

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

Wink

Dann mal los...

01.05.2011, 19:34

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

Stetigkeit von Metriken
$\begin{eqnarray*} d(a_n,b) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq d(a,b_n)+d(a_n,b_n) \end{eqnarray*}$
?

01.05.2011, 19:39

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Na, dann bekommen wir doch wieder einen "gemischten Term" $\begin{eqnarray*} d(a,b_n) \end{eqnarray*}$ ...

Ich habe doch schon angedeutet, dass wir $\begin{eqnarray*} d(a_n, a) \end{eqnarray*}$ bekommen wollen!

01.05.2011, 19:44

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

Stetigkeit von Metriken
aha ja dann;

$\begin{eqnarray*} d(a_n,b) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq d(a,a_n)+d(b,b_n) \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 19:45

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Der letzte Summand stimmt noch nicht. Du musst den Zwischenpunkt richtig einfügen.

Edit: Formulierung verbessert.

01.05.2011, 19:49

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

Stetigkeit von Metriken
muss leider zu arbeit.
Mache später weiter.

Vielen Dank

01.05.2011, 22:35

maru

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit von Metriken
wieder da, aber warum stimmt der latzte Summand noch nicht was fehlt da noch?

01.05.2011, 22:36

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit von Metriken

Zitat:

Original von maru
$\begin{eqnarray*} d(x,y)\leq d(x,z) + d (z,y) \end{eqnarray*}$

Vergleich Deine obige Rechnung mal damit...

« vorherige Seite 123 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »