Stetigkeit von Metriken - Seite 3

01.05.2011, 22:46

maru

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RE: Stetigkeit von Metriken

naja das hatten wir ja anders definiert gehabt aber es ging jetz doch um $\begin{eqnarray*} d(a_n,b) \end{eqnarray*}$

Wir hatten vorher festgelegt dass;

$\begin{eqnarray*} d(x,y)\leq d(x,z) + d (z,y) = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} d(a_n,b_n)\leq d(a_n,b) + d (b,b_n) \end{eqnarray*}$ ist.

verstehe nicht wie das mit $\begin{eqnarray*} d(a_n,b) \end{eqnarray*}$ zusammenhängt. Ich kann doch nicht auch $\begin{eqnarray*} d(a_n,b) = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} d(x,y) \end{eqnarray*}$ setzen.

01.05.2011, 22:53

zweiundvierzig

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RE: Stetigkeit von Metriken

Zitat:

Original von maru
aha ja dann;

$\begin{eqnarray*} d(a_n,b) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq d(a,a_n)+d(b,b_n) \end{eqnarray*}$

Du musst die Dreiecksungleichung richtig anwenden! Bei aller Geduld, aber so kommen wir nicht weiter. Bitte verschaffe Dir einen Überblick über alle Schritte und Notationen, sonst fällt mir auch nichts mehr ein.

01.05.2011, 23:47

maru

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RE: Stetigkeit von Metriken
so?

$\begin{eqnarray*} d(a_n,b) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq d(a,a_n)+d(a_n,b)+d(b,b_n) \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 23:52

zweiundvierzig

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unglücklich

01.05.2011, 23:55

maru

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also ich hab mir alles nochmal durchgelesen und notiert ich weis einfach nicht. Hab die Ungl. aufgestellt
$\begin{eqnarray*} d(a_n,b) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq d(a,a_n)+d(b,b_n) \end{eqnarray*}$

aber da fehlt noch ein zwischenschritt, weis wirklich nciht welcher

01.05.2011, 23:58

maru

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Stetigkeit von Metriken
ich kann umformen dann kommt das aber mehr fällt mir leider nich zu ein

$\begin{eqnarray*} d(a_n,b) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq d(a,a_n)+d(b,b_n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d(a_n,a) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq d(a_n,b)-d(b,b_n) \end{eqnarray*}$

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02.05.2011, 00:06

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von maru
$\begin{eqnarray*} d(a_n,b) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq d(a,a_n)+d(b,b_n) \end{eqnarray*}$

Da fehlt nicht einfach ein Zwischenschritt, es ist falsch! unglücklich

unglücklich

Ich rekapituliere jetzt: wir haben $\begin{eqnarray*} |d(a_n, b_n) - d(a,b)| \le |d(a_n, b) + d(b,b_n) - d(a,b)| \end{eqnarray*}$ . Hier haben wir auf $\begin{eqnarray*} d(a_n, b_n) \end{eqnarray*}$ die Dreiecksungleichung angewendet und den Punkt $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ dazwischengeschoben. Wir wollen nun den Teil auf der linken Seite noch weiter abschötze und zwar so, dass dort $\begin{eqnarray*} d(a_n, a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d(b,b_n) \end{eqnarray*}$ vorkommen, damit wir die Konvergenzvoraussetzungen anwenden können. Es ist nur ein einziger Schritt, der dazu fehlt, aber dazu musst die Dreiecksungleichung korrekt anwenden!

02.05.2011, 00:20

maru

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Stetigkeit von Metriken
also das könnte doch gehen wenn man umformt und zwar diesen Term hier

$\begin{eqnarray*} d(a_n,b) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq d(a,a_n)+d(b,b_n) \end{eqnarray*}$ forme um nach

$\begin{eqnarray*} d(a_n,a) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq d(a_n,b)-d(b,b_n) \end{eqnarray*}$
und

$\begin{eqnarray*} d(b,b_n) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq d(a_n,b)+d(a,a_n). \end{eqnarray*}$

und die so definierten Terme setzt man jetzt in die linke Seite der Gleichung ein.
?

02.05.2011, 00:26

zweiundvierzig

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Okay, das war jetzt doof, weil ich mich verschrieben habe (Verbesserung blau), allerdings hatte ich Dir auch diesen Hinweis in richtiger Form weiter oben schon gegeben, sodass es eigentlich nichts neues ist, sondern nur kontextuell zusammengefasst:

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Wir wollen nun den Teil auf der rechten Seite noch weiter abschötze und zwar so, dass dort $\begin{eqnarray*} d(a_n, a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d(b,b_n) \end{eqnarray*}$ vorkommen, damit wir die Konvergenzvoraussetzungen anwenden können. Es ist nur ein einziger Schritt, der dazu fehlt, aber dazu musst die Dreiecksungleichung korrekt anwenden!

Jedenfalls wird Deine (in mehreren Punkten) falsche Rechnung nicht dadurch richtig, dass Du sie dauernd wiederholst und ich habe langsam keine Lust mehr, auch mich dauernd wiederholen zu müssen.

Ich habe Dir jetzt (unter Zunahme der Verbesserung) eine ziemlich klare Anweisung für den nächsten Schritt in dieser Aufgabe gegeben...

02.05.2011, 00:35

maru

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Stetigkeit von Metriken
bezüglich dieser Gleichung hier?

$\begin{eqnarray*} |d(a_n, b_n) - d(a,b)| \le |d(a_n, b) + d(b,b_n) - d(a,b)| \end{eqnarray*}$ .

02.05.2011, 00:37

zweiundvierzig

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Ja. Die rechte Seite dieser Ungleichung soll noch weiter abgeschätzt werden, da am Ende $\begin{eqnarray*} |d(a_n, b_n) - d(a,b)| \end{eqnarray*}$ klein werden soll.

02.05.2011, 00:54

maru

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Stetigkeit von Metriken
habe einfach keine ahnung wie ich $\begin{eqnarray*} d(a_n,b) \end{eqnarray*}$ abschätzen soll.

02.05.2011, 00:56

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Ich rekapituliere jetzt: wir haben $\begin{eqnarray*} |d(a_n, b_n) - d(a,b)| \le |d(a_n, b) + d(b,b_n) - d(a,b)| \end{eqnarray*}$ . Hier haben wir auf $\begin{eqnarray*} d(a_n, b_n) \end{eqnarray*}$ die Dreiecksungleichung angewendet und den Punkt $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ dazwischengeschoben. Wir wollen nun den Teil auf der rechten Seite noch weiter abschätzen und zwar so, dass dort $\begin{eqnarray*} d(a_n, a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d(b,b_n) \end{eqnarray*}$ vorkommen, damit wir die Konvergenzvoraussetzungen anwenden können. Es ist nur ein einziger Schritt, der dazu fehlt, aber dazu musst die Dreiecksungleichung korrekt anwenden!

02.05.2011, 01:11

maru

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Stetigkeit von Metriken
$\begin{eqnarray*} d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y) \end{eqnarray*}$ ich setzte $\begin{eqnarray*} d(a_n,b) = d(x,y) \end{eqnarray*}$ und folgere daraus die Ungleichung;

$\begin{eqnarray*} d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y) \end{eqnarray*}$

entspricht:

$\begin{eqnarray*} d(a_n,b)\leq d(a_n,a)+d(a,b) \end{eqnarray*}$ nun setzte ich es in die rechte Seite der Ungl. ein, es folgt;

$\begin{eqnarray*} |d(a_n, b_n) - d(a,b)| \le |d(a_n, b) +d(a_n,a)+d(a,b)+ d(b,b_n) - d(a,b)| \end{eqnarray*}$ es folgt;

$\begin{eqnarray*} |d(a_n, b_n) - d(a,b)| \le |d(a_n, b) +d(a_n,a)+ d(b,b_n)| \end{eqnarray*}$

aber es kann nicht so ganz stimmen da

$\begin{eqnarray*} d(a_n,b) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq d(a_n,a)+d(a,b) \end{eqnarray*}$ müsste $\begin{eqnarray*} d(a_n,b) \end{eqnarray*}$ doch aus der rechen Seite der Gleichung verschwinden oder?

02.05.2011, 01:25

zweiundvierzig

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RE: Stetigkeit von Metriken

Zitat:

Original von maru
$\begin{eqnarray*} d(a_n,b)\leq d(a_n,a)+d(a,b) \end{eqnarray*}$

Ja, stimmt.

Jetzt wende bitte genau das hierauf an:
$\begin{eqnarray*} |d(a_n, b_n) - d(a,b)| \leq |d(a_n, b) + d(b, b_n) - d(a,b)| \end{eqnarray*}$

02.05.2011, 01:31

maru

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RE: Stetigkeit von Metriken
Aber das habe ich oben doch. Ich habe das was ich erhalten habe in die rechte Seite eingesetzt und das bekommen;

$\begin{eqnarray*} |d(a_n, b_n) - d(a,b)| \le |d(a_n, b) +d(a_n,a)+ d(b,b_n)| \end{eqnarray*}$

02.05.2011, 02:01

maru

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RE: Stetigkeit von Metriken
Vielen Dank für deine Mühe und Geduld.

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