Stetigkeit von Metriken

30.04.2011, 22:13

maru

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Stetigkeit von Metriken

Meine Frage:
Hallo liebes Forum ich hätte Fragen zur der Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum. Wir betrachten die bzgl. d konvergenten Folgen $\begin{eqnarray*} a_n->a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n->b. \end{eqnarray*}$ Zeige: Es gilt $\begin{eqnarray*} d(a_n,b_n)->d(a,b). \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich wähle $\begin{eqnarray*} a_n \neq b_n \end{eqnarray*}$ . Es gibt zwei Natürliche Zahlen
$\begin{eqnarray*} N_1,N_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} | a_n-a | \leq Epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq N_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |b_n-b|\leq Epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq N_2. \end{eqnarray*}$

Ich dachte man könnte es mit der Dreiecksungleichung lösen.
$\begin{eqnarray*} |a_n-b_n | \leq| a_n-a|+| b_n-b | \leq 2Epsilon=| a-b |. \end{eqnarray*}$

30.04.2011, 22:37

maru

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RE: Stetigkeit von Metriken
bzw. ich müsste vielleicht die erste und die letzte Klammer tauschen;

$\begin{eqnarray*} |a-b | \leq| a_n-a|+| b_n-b | \leq 2Epsilon=|a_n-b_n |. \end{eqnarray*}$

30.04.2011, 22:59

zweiundvierzig

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Warum betrachtest Du Beträge von Differenzen? Wir sind in einem allgemeinen metrischen Raum, daher heißt es $\begin{eqnarray*} d(a,b) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} |a - b| \end{eqnarray*}$ .

Außerdem geht es nicht darum, bloß $\begin{eqnarray*} d(a_n, b_n) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} d(a,b) \end{eqnarray*}$ abzuschätzen. Wie ist denn die Konvergenz allgemein in einem metrischen Raum definiert? Und was muss man nun also konkret für $\begin{eqnarray*} d(a_n, b_n) \to d(a,b) \end{eqnarray*}$ zeigen?

01.05.2011, 02:00

maru

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Stetigkeit von Metriken
Für die allgemeine Konvergenz (von Folgen) in einem metrischen Raum M setzt man;

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to oo} a_n =a \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to oo} d(a_n,a)=0 \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 02:10

zweiundvierzig

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Was bedeutet damit dann $\begin{eqnarray*} d(a_n, b_n) \to d(a,b) \end{eqnarray*}$ ?

01.05.2011, 02:11

maru

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RE: Stetigkeit von Metriken
bzw. für n gegen Unendlich, war ein Tipfehler.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} a_n =a \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} d(a_n,a)=0 \end{eqnarray*}$

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01.05.2011, 02:16

maru

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RE: Stetigkeit von Metriken
das hier?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} d(a_n,a)+d(b_n,b)=0 \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 02:17

zweiundvierzig

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Nein. Die Werte einer Metrik sind doch reelle Zahlen. Wie sieht dann also die Konvergenz $\begin{eqnarray*} d(a_n, b_n) \to d(a,b) \end{eqnarray*}$ konkret aus?

01.05.2011, 02:27

maru

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Stetigkeit von Metriken
ich weis es leider nicht

01.05.2011, 02:29

zweiundvierzig

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Du hast doch schon festgestellt, $\begin{eqnarray*} a_n \to a \end{eqnarray*}$ im metrischen Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} d(a_n, a) \end{eqnarray*}$ "klein" wird.

Wie sieht es nun mit $\begin{eqnarray*} d(a_n, b_n) \to d(a,b) \end{eqnarray*}$ in den reellen Zahlen aus?

01.05.2011, 02:36

maru

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Stetigkeit von Metriken
naja, das müsste doch einfach so ähnlich aussehen oder? ich weis nicht genau was gemaint ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} a_n =a \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} d(a_n,a)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} b_n =b \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} d(b_n,b)=0 \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 02:37

zweiundvierzig

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Ja, das sind die beiden Voraussetzungen, aber mir geht es um das, was gezeigt werden soll.

Für $\begin{eqnarray*} (x_n),y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , was bedeutet $\begin{eqnarray*} (x_n) \to y \end{eqnarray*}$ ?

01.05.2011, 02:42

maru

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Stetigkeit von Metriken
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} x_n =y \end{eqnarray*}$ war es so gemeint?

01.05.2011, 02:43

zweiundvierzig

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Naja, das ist bloß eine andere Schreibweise. Ich möchte auf die Definition hinaus.

01.05.2011, 02:48

maru

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Stetigkeit von Metriken
also es bedeutet, dass die Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ für wachsende $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen eine bestimmte Reelle Zahl konvergiert d.h. (sie nähert sich ihr an) und diese Zahl ist bei uns das $\begin{eqnarray*} y. \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 02:55

zweiundvierzig

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Okay, wie kann man das in Begriffen von Ungleichungen ausdrücken?

Wenn Du Dir das überlegt hast, setze mal $\begin{eqnarray*} x_n := d(a_n, b_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y := d(a,b) \end{eqnarray*}$ (Warum geht das?) und schreibe es für diesen Spezialfall hin.

01.05.2011, 03:04

maru

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Stetigkeit von Metriken
ist der Spezialfall für $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} x_n := d(a_n, b_n) \end{eqnarray*}$ nur einen Grenzwert haben kann

01.05.2011, 03:07

zweiundvierzig

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Für $\begin{eqnarray*} a = b \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} d(a,b) = 0 \end{eqnarray*}$ , aber darum geht es gar nicht.

Bitte beachte meinem Hinweis aus dem letzten Posting.

01.05.2011, 03:08

maru

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RE: Stetigkeit von Metriken
$\begin{eqnarray*} d(a,b)\leq d(a_n-a)+d(b_n-b) \end{eqnarray*}$
z.b.so?

01.05.2011, 03:13

zweiundvierzig

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Nein.

Vergessen wir für einen Moment mal die eigentliche Aufgabe. Wie sieht das denn für $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus?

Edit: Ausgedrückt durch eine Ungleichung!

01.05.2011, 03:18

maru

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Stetigkeit von Metriken
$\begin{eqnarray*} (x_n) \leq (y) \end{eqnarray*}$ ?

01.05.2011, 03:22

zweiundvierzig

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Ja, so habt ihr das bestimmt definiert. unglücklich

unglücklich

01.05.2011, 03:26

maru

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Stetigkeit von Metriken
es tut mir leid ich verstehe einfach nicht was gemeint ist, soll ich hier mit Epsilon argumentieren?

01.05.2011, 03:27

zweiundvierzig

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Ja, darauf wollte ich hinaus. Das ist die richtige Richtung. Aber schreibe das bitte genau und mit den nötigen Erklärungen auf, sonst kann man nicht damit arbeiten.

01.05.2011, 03:45

maru

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Stetigkeit von Metriken
also für den Fall $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ folgt dass.
Sei $\begin{eqnarray*} x_n\in N \end{eqnarray*}$ eine Folge reeller Zahlen, dann gilt; $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ ist konvergent gegen den Grenzwert $\begin{eqnarray*} y\in R \end{eqnarray*}$ wenn gilt;
Für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N, \end{eqnarray*}$ so dass

$\begin{eqnarray*} d(x_n,y)\leq \varepsilon := \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \left\vert x_n-y\right\vert <\varepsilon\,\forall n\geq N \end{eqnarray*}$ gilt.

01.05.2011, 03:52

zweiundvierzig

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RE: Stetigkeit von Metriken

Zitat:

Original von maru
$\begin{eqnarray*} d(x_n,y)\leq \varepsilon := \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \left\vert x_n-y\right\vert <\varepsilon\,\forall n\geq N \end{eqnarray*}$

So ähnlich.

01.05.2011, 03:54

maru

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RE: Stetigkeit von Metriken
so richtig?

$\begin{eqnarray*} d(x_n,y)\leq \varepsilon := \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \left\vert x_n-y\right\vert \leq \varepsilon\,\forall n\geq N \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 03:56

zweiundvierzig

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Ich bitte Dich wirklich, das so aufzuschreiben, wie ihr es definiert habt. Und so, wie Du es jetzt gepostet hast, habt ihr das garantiert nicht gemacht.

01.05.2011, 04:00

maru

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Stetigkeit von Metriken
Ja aber davor war es nur ein Beispiel:
Soll ich das so übernehmen?

$\begin{eqnarray*} d(a_n,a)\leq \varepsilon := \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \left\vert a_n-a\right\vert \leq \varepsilon\,\forall n\geq N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d(b_n,b)\leq \varepsilon := \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \left\vert b_n-b\right\vert \leq \varepsilon\,\forall n\geq N \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 04:09

zweiundvierzig

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RE: Stetigkeit von Metriken

Zitat:

Original von maru
$\begin{eqnarray*} d(x_n,y)\leq \varepsilon := \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \left\vert x_n-y\right\vert \leq \varepsilon\,\forall n\geq N \end{eqnarray*}$

Hier misst Du einmal den Abstand zwischen $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ per Absolutbetrag der Differenz, das andere mal per Metrik. Wenn wir in einem allgemeinen metrischen Raum sind, haben wir das erste nicht zur Verfügung. Sind wir in den reellen Zahlen, ist es überflüssig beide Schreibweisen nebeneinander zu benutzen, man sollte der Deutlichkeit halber $\begin{eqnarray*} |x_n - y| \end{eqnarray*}$ betrachten. Im zweiten Schritt definierst Du $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ als eine Zahl, die von einem Term abhängt, der eine durch einen Allquantor gebundende Variable enthält. Das ergibt keinen Sinn.

Außerdem ist doch der gerade der Witz, eine Ungleich zu erhalten, die für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ wahr ist!

Dann noch $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ gegen sich selbst abzuschätzen, ist nicht falsch, aber auch nicht besonders produktiv. Bitte lass' Dir anhand meiner Hinweise nochmal in Ruhe durch den Kopf gehen, warum das von Dir Angeführte nicht viel Sinn ergibt.

Worum es mir geht, ist, dass Du Dich erinnerst, wie Konvergenz in den reellen Zahlen definiert ist und auch erkennst, warum das sinnvoll ist. In der Aufgabees geht es darum, die Konvergenz der Zahlen $\begin{eqnarray*} d(a_n, b_n) \end{eqnarray*}$ gegen die Zahl $\begin{eqnarray*} d(a,b) \end{eqnarray*}$ zu beweisen unter der Voraussetzung, dass in einem metrischen Raum die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ gegen den Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und die Folge $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ gegen den Punkt $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Daher nochmal meine Erinnerung: schreibe bitte sauber und korrekt die richtige Definition von Folgenkonvergenz in den reellen Zahlen auf. Setze dann für diese Zahlen die Metriken ein (wie eben angedeutet) und dann sehen wir weiter, wie wir den eigentlichen Beweis führen können.

01.05.2011, 04:28

maru

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RE: Stetigkeit von Metriken
Wie in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ heißt eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ in einem metrischen Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ konvergent gegen den Grenzwert $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ , falls

$\begin{eqnarray*} \displaystyle \forall \varepsilon >0 \exists n_0\in\mathbb{N}\forall n\geq n_0: d(x_n,x)<\varepsilon . \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 10:55

zweiundvierzig

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Ja, genau. Was wollen wir nun zeigen, formuliert in dieser Terminologie?

01.05.2011, 12:55

maru

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Stetigkeit von Metriken
Wir wollen zeigen dass;

für alle Epsilon grösser Null, es existiert eine Stelle $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ aus den Natürlichen Zahlen. Ab dieser Stelle $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gilt für alle weitere $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ grösser $\begin{eqnarray*} n_0, \end{eqnarray*}$ der Abstand von dem Folgeglied $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ zum Grenzwert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ is kleiner als das Epsilon.

01.05.2011, 13:03

zweiundvierzig

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Okay, das hast Du mittlerweile verstanden. Freude

Freude

Was sind in unserer Aufgabe, die $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , für die wir die Konvergenz zeigen wollen?

01.05.2011, 13:09

maru

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Stetigkeit von Metriken
also in unsere Augabe ist;

$\begin{eqnarray*} (x_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$

und das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist gleich $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b . \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 13:13

maru

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RE: Stetigkeit von Metriken
bzw. das sind die Folgen;
$\begin{eqnarray*} (x_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$

und das die Grenzwerte;
$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist gleich $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b . \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 13:20

zweiundvierzig

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$\begin{eqnarray*} x=a=b \end{eqnarray*}$ ? Nein, im allgemeinen nicht.

01.05.2011, 13:27

maru

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Stetigkeit von Metriken
ja dann muss $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =a \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} =b \end{eqnarray*}$ sein. Daraus folgt $\begin{eqnarray*} a \neq b. \end{eqnarray*}$ oder?

01.05.2011, 13:40

zweiundvierzig

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RE: Stetigkeit von Metriken

Zitat:

Original von maru
Zeige: Es gilt $\begin{eqnarray*} d(a_n,b_n)->d(a,b). \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 13:45

maru

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RE: Stetigkeit von Metriken
$\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} d(a_n,b_n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} d(a,b) \end{eqnarray*}$

?

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