Stetigkeit von Metriken

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maru Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von Metriken
Meine Frage:
Hallo liebes Forum ich hätte Fragen zur der Aufgabe:

Es sei ein metrischer Raum. Wir betrachten die bzgl. d konvergenten Folgen und Zeige: Es gilt

Meine Ideen:
Ich wähle . Es gibt zwei Natürliche Zahlen
mit für und für

Ich dachte man könnte es mit der Dreiecksungleichung lösen.
maru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit von Metriken
bzw. ich müsste vielleicht die erste und die letzte Klammer tauschen;

 
 
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Warum betrachtest Du Beträge von Differenzen? Wir sind in einem allgemeinen metrischen Raum, daher heißt es statt .

Außerdem geht es nicht darum, bloß gegen abzuschätzen. Wie ist denn die Konvergenz allgemein in einem metrischen Raum definiert? Und was muss man nun also konkret für zeigen?
maru Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von Metriken
Für die allgemeine Konvergenz (von Folgen) in einem metrischen Raum M setzt man;

bzw.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Was bedeutet damit dann ?
maru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit von Metriken
bzw. für n gegen Unendlich, war ein Tipfehler.

bzw.
maru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit von Metriken
das hier?

zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Die Werte einer Metrik sind doch reelle Zahlen. Wie sieht dann also die Konvergenz konkret aus?
maru Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von Metriken
ich weis es leider nicht
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch schon festgestellt, im metrischen Raum bedeutet, dass "klein" wird.

Wie sieht es nun mit in den reellen Zahlen aus?
maru Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von Metriken
naja, das müsste doch einfach so ähnlich aussehen oder? ich weis nicht genau was gemaint ist

bzw.
bzw.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das sind die beiden Voraussetzungen, aber mir geht es um das, was gezeigt werden soll.

Für , was bedeutet ?
maru Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von Metriken
war es so gemeint?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das ist bloß eine andere Schreibweise. Ich möchte auf die Definition hinaus.
maru Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von Metriken
also es bedeutet, dass die Folge für wachsende gegen eine bestimmte Reelle Zahl konvergiert d.h. (sie nähert sich ihr an) und diese Zahl ist bei uns das
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, wie kann man das in Begriffen von Ungleichungen ausdrücken?

Wenn Du Dir das überlegt hast, setze mal und (Warum geht das?) und schreibe es für diesen Spezialfall hin.
maru Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von Metriken
ist der Spezialfall für weil nur einen Grenzwert haben kann
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Für ist , aber darum geht es gar nicht.

Bitte beachte meinem Hinweis aus dem letzten Posting.
maru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit von Metriken

z.b.so?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.

Vergessen wir für einen Moment mal die eigentliche Aufgabe. Wie sieht das denn für und aus?

Edit: Ausgedrückt durch eine Ungleichung!
maru Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von Metriken
?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so habt ihr das bestimmt definiert. unglücklich
maru Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von Metriken
es tut mir leid ich verstehe einfach nicht was gemeint ist, soll ich hier mit Epsilon argumentieren?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, darauf wollte ich hinaus. Das ist die richtige Richtung. Aber schreibe das bitte genau und mit den nötigen Erklärungen auf, sonst kann man nicht damit arbeiten.
maru Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von Metriken
also für den Fall und folgt dass.
Sei eine Folge reeller Zahlen, dann gilt; ist konvergent gegen den Grenzwert wenn gilt;
Für jedes mit existiert ein so dass


gilt.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit von Metriken
Zitat:
Original von maru


So ähnlich.
maru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit von Metriken
so richtig?

zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bitte Dich wirklich, das so aufzuschreiben, wie ihr es definiert habt. Und so, wie Du es jetzt gepostet hast, habt ihr das garantiert nicht gemacht.
maru Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von Metriken
Ja aber davor war es nur ein Beispiel:
Soll ich das so übernehmen?



zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit von Metriken
Zitat:
Original von maru

Hier misst Du einmal den Abstand zwischen und per Absolutbetrag der Differenz, das andere mal per Metrik. Wenn wir in einem allgemeinen metrischen Raum sind, haben wir das erste nicht zur Verfügung. Sind wir in den reellen Zahlen, ist es überflüssig beide Schreibweisen nebeneinander zu benutzen, man sollte der Deutlichkeit halber betrachten. Im zweiten Schritt definierst Du als eine Zahl, die von einem Term abhängt, der eine durch einen Allquantor gebundende Variable enthält. Das ergibt keinen Sinn.

Außerdem ist doch der gerade der Witz, eine Ungleich zu erhalten, die für alle wahr ist!

Dann noch gegen sich selbst abzuschätzen, ist nicht falsch, aber auch nicht besonders produktiv. Bitte lass' Dir anhand meiner Hinweise nochmal in Ruhe durch den Kopf gehen, warum das von Dir Angeführte nicht viel Sinn ergibt.

Worum es mir geht, ist, dass Du Dich erinnerst, wie Konvergenz in den reellen Zahlen definiert ist und auch erkennst, warum das sinnvoll ist. In der Aufgabees geht es darum, die Konvergenz der Zahlen gegen die Zahl zu beweisen unter der Voraussetzung, dass in einem metrischen Raum die Folge gegen den Punkt und die Folge gegen den Punkt konvergiert.

Daher nochmal meine Erinnerung: schreibe bitte sauber und korrekt die richtige Definition von Folgenkonvergenz in den reellen Zahlen auf. Setze dann für diese Zahlen die Metriken ein (wie eben angedeutet) und dann sehen wir weiter, wie wir den eigentlichen Beweis führen können.
maru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit von Metriken
Wie in heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent gegen den Grenzwert , falls

zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau. Was wollen wir nun zeigen, formuliert in dieser Terminologie?
maru Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von Metriken
Wir wollen zeigen dass;

für alle Epsilon grösser Null, es existiert eine Stelle aus den Natürlichen Zahlen. Ab dieser Stelle gilt für alle weitere grösser der Abstand von dem Folgeglied zum Grenzwert is kleiner als das Epsilon.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das hast Du mittlerweile verstanden. Freude

Was sind in unserer Aufgabe, die und , für die wir die Konvergenz zeigen wollen?
maru Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von Metriken
also in unsere Augabe ist;

und

und das ist gleich und
maru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit von Metriken
bzw. das sind die Folgen;
und

und das die Grenzwerte;
ist gleich und
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

? Nein, im allgemeinen nicht.
maru Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von Metriken
ja dann muss oder sein. Daraus folgt oder?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit von Metriken
Zitat:
Original von maru
Zeige: Es gilt
maru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit von Metriken
=
=

?
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