Orthonormalisieren mit Gram-Schmidt

01.05.2011, 08:06	Sanskrit	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalisieren mit Gram-Schmidt Sei V der Raum der Polynome vom Grad kleiner gleich 3 mit dem durch $\begin{eqnarray} \langle p,q \rangle = \int_0^1 p(x)q(x)dx \end{eqnarray}$ , für $\begin{eqnarray} p,q \in V \end{eqnarray}$ . definierten Skalarprodukt. Orthonormalisieren sie die Basis $\begin{eqnarray} \{1,x,x^2,x^3\} \end{eqnarray}$ . Das Ganze soll mit dem Gram-Schmidt-Verfahren berechnet werden. So wie ich das verstanden habe, werden dabei für die Basiselemente $\begin{eqnarray} \{1,x,x^2,x^3\} \end{eqnarray}$ weitere Elemente berechnet, die eine Orthonormalbasis bilden. Sei $\begin{eqnarray} w_1=1 \end{eqnarray}$ ; dann ist z.B. $\begin{eqnarray} v_1= \frac{1}{\|\|1\|\|} \end{eqnarray}$ (also $\begin{eqnarray} w_1 \end{eqnarray}$ normalisiert). Für $\begin{eqnarray} w_2=x \end{eqnarray}$ ist dann $\begin{eqnarray} v'_2= x - \langle \frac{1}{\|\|1\|\|}, x \rangle \cdot \frac{1}{\|\|1\|\|} \end{eqnarray}$ (also $\begin{eqnarray} w_2 \end{eqnarray}$ orthogonalisiert) Dann müsste man $\begin{eqnarray} v'_2 \end{eqnarray}$ normalisieren etc. Ist dieses Vorgehen an sich korrekt? Mir ist allerdings unklar, wie ich dann schlußendlich auf die konkreten Basiselemente komme.
01.05.2011, 09:11	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthonormalisieren mit Gram-Schmidt Das Verfahren ist prinzipiell korrekt. Die Basisvektoren sind dann die normalisierten v_i Vektoren

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