Skalarfeld finden

01.05.2011, 12:29

Halliday

Skalarfeld finden

Hallo alle miteinander,

habe eine Frage, ich steh auf dem Schlauch und habe leider auch keine Idee.

Ich habe folgendes Feld gegeben:

$\begin{eqnarray*} e^{xyz} \begin{pmatrix} yz \\ xz \\ xy \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich soll nun ein Skalarfeld finden, dessen Gradient genau oben genanntes Feld ergibt.

Ich bin irgendwie planlos. Gibt's da eine vorgehensweise? Ich hab probiert exp(x) +exp(y) etc mit vorfaktoren, aber bin auch nicht draufgekommen. Die e Funktion macht mir ziemliche Schwierigkeiten, weil ich da ja quasi in jedem Summand einbauen muss. Ich steh aufm Schlauch.

Danke für die Hilfe

01.05.2011, 12:52

Mulder

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RE: Skalarfeld finden
Naja, wir suchen eine skalare Funktion $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ derart, dass gerade

$\begin{eqnarray*} \nabla \phi = \begin{pmatrix} yz e^{xyz} \\ xze^{xyz} \\ xy e^{xyz} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gilt (Definition des Gradienten). Das wiederum bedeutet aber doch, dass folgendes gelten muss:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \phi}{\partial x} =yz e^{xyz} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \phi}{\partial y} =xz e^{xyz} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \phi}{\partial z} =xy e^{xyz} \end{eqnarray*}$

Und da springt einem die Lösung doch eigentlich sofort ins Gesicht. Du kannst ja nun einfach integrieren.

01.05.2011, 14:40

Halliday

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Danke für deine Antwort, muss ich nun den ersten Ausdruck nach x, den zweiten nach y und den dritten nach z integrieren und dann sie "Summe" bilden? Weil wenn ich den ersten Ausdruck z.B. nach x integriere, bekomme ich exp(x*y*z), bei den anderen auch. Irgendwie steh ich aufm Schlauch unglücklich

01.05.2011, 16:52

Mulder

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Zitat:

Original von Halliday
Weil wenn ich den ersten Ausdruck z.B. nach x integriere, bekomme ich exp(x*y*z), bei den anderen auch.

Und das ist doch perfekt, genau das wollen wir doch haben. Augenzwinkern

Natürlich kann man noch eine Integrationskonstante dazu packen:

$\begin{eqnarray*} \phi(x,y,z)=e^{xyz}+C \end{eqnarray*}$

Passt doch. Ist in diesem Fall eben ein besonders einfaches Beispiel. Bilde davon doch mal den Gradienten, du wirst sehen, das haut wunderbar hin.

01.05.2011, 17:11

Halliday

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Ok, vielen Dank, irgendwie sah der Gradient in meiner Vorstellung einfach nach a+b+c aus. Also nur drei Summanden Hammer

Also nochmals vielen dank Gott

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Skalarfeld finden

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