Körpererweiterung, Einheitswurzel [ÜAB]

01.05.2011, 19:16

tigerbine

Körpererweiterung, Einheitswurzel [ÜAB]

Zitat:

Sei L|K eine Körpererweiterung und a aus L eine Einheitszurzel, d.h. $\begin{eqnarray*} a^n=1 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Man zeige

K(a)|K ist eine Galois-Erweiterung mit abelscher Galoisgruppe.
Ist $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a^n=1 \neq a \end{eqnarray*}$ für eine Primzahl n, so ist $\begin{eqnarray*} \text{Aut}(\mathbb Q(a)|\mathbb Q) \end{eqnarray*}$ zyklisch von der Ordnung n-1.
Ist $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^8=1\neq 4 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \text{Aut}(\mathbb Q(a)|\mathbb Q) \end{eqnarray*}$ nicht zyklisch.

Beginnen wir bei (a) und betrachten das Polynom $\begin{eqnarray*} p=x^n-1 \end{eqnarray*}$ . Die Nullstellen sind die n-ten Einheitswurzeln und somit paarweise verschieden. Das Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} m_a \end{eqnarray*}$ einer solchen Nullstelle ist dann ein Teiler von p und hat ebenfalls verschiedene Nullstellen sowie einen Grad kleiner gleich n. Die Körpererweiterung ist also endlich und separabel.

<--- Wenn man von K wüßte, dass char(K)=0, dann müßte das generell für eine endliche Erweiterung gelten, wenn ich jester richtig verstanden habe. ---->

Es fehlt nun noch, dass $\begin{eqnarray*} m_a \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K(a) \end{eqnarray*}$ in Linearfaktoren zerfällt. Mit a ergänzt man auch die Potenzen von a. Es ist also die Frage, wie sieht das Minimalpolynom aus. Ist es gerade das Produkt der Linearfaktoren der Potenzen von a? Wie stellt man sicher, dass das nun aber in K[x] liegt?

Und ganz kann es mit den Potenzen nicht hinhauen. Sei n gerade, dann ist a=-1 auch eine Lösung, das Minimalpolynom ist dann aber x+1. verwirrt

02.05.2011, 17:19

juffo-wup

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Wenn du weißt, dass das d-te Kreisteilungspolynom über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist, ist es nicht schwer. Du kennst ja die Formel für $\begin{eqnarray*} x^n-1 \end{eqnarray*}$ als Produkt der d-ten KTP mit d teilt n. Das Minimalpolynom einer n-ten EHW x ist also eins von diesen KTP, nämlich das d-te KTP sodass x eine primitive d-te EHW ist. Die anderen Nullstellen dieses Minimalpolynoms sind auch (primitive) d-te EHW, also Potenzen von x.

25.05.2011, 02:03

tigerbine

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Also es ist $\begin{eqnarray*} a^n-1=\prod_{d|n}\Phi_d \end{eqnarray*}$ . Die jeweiligen Nullstellen sind Potenzen von primitiven Einheitswurzeln.

(a)Es ist möglich, dass a bereits in K liegt. Dann ist die Galoisgruppe trivial und somit auch abelsch.

Sei nun a nicht in K. Das Minimalpolynom hat nur einfache Nullstellen und zerfällt in K(a). Somit ist die Erweiterung galoisch. Die Elemente der Galoisgruppe sind durch das Bild von a eindeutig festgelegt. Da die Bilder Potenzen von a sind, kommutieren die Automorphismen.

(b) a ist also eine primitive n-te Einheitswurzel (n prim). Davon gibt es n-1 Stück jeder Automorphismus wirkt als n-1 Zykel auf diesen Nullstellen. Diese Nullstellenpermutationen kann man als Potenzen eines dieser Zyklen darstellen und die Automorphismengruppe selbst ist zyklisch von der Ordnung n-1-

(c) Es ist a eine primitive achte EW. Das Minimalpolynom ist $\begin{eqnarray*} x^4+1 \end{eqnarray*}$ und die Galoisgruppe ist isomorph zu V4. Siehe Galoisgruppe bestimmen (2) [ÜAB]

25.05.2011, 14:41

juffo-wup

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Es stimmt alles Wink