Warum ist das Integral die Fläche unter einer Kurve?

01.05.2011, 22:50

Pascal95

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Warum ist das Integral die Fläche unter einer Kurve?

Hallo,

ich frage mich, warum das (bestimmte) Integral einer Funktion gleich der Fläche unter der Kurve ist.

Das ist ja eine ganz allgemeine Frage.

Meine Idee war es zuerst von Polynomfunktionen auszugehen und es ist klar, dass die Ableitung für Potenzfunktionen $\begin{eqnarray*} \frac{x^n}{\mathrm{d}x} = n \cdot x^{n-1} \end{eqnarray*}$ ist und für Polynome gilt dann: "Die Ableitung ist die Summe der Ableitungen."

Durch das Integrieren kommt man ja sozusagen wieder zurück.
$\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ wird dann zu $\begin{eqnarray*} \frac{x^{n+1}}{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Den Beweis für die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ kenne ich.
Daraus ergibt sich der Beweis für das Integrieren (verhält sich umgekehrt).

Eine andere Idee war folgendermaßen ranzugehen:
Die Einheit der Ableitung ist $\begin{eqnarray*} \frac{[y]}{[x]} \end{eqnarray*}$ , also die Einheit der y-Achse dividiert durch die Einheit der x-Achse. Beim Integrieren ist es das Produkt $\begin{eqnarray*} [x] \cdot [y] \end{eqnarray*}$ .
Hat das was mit der Fläche zu tun (Fläche vom Rechteck = x*y )....

Wer kann mir helfen?

01.05.2011, 23:04

tigerbine

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RE: Warum ist das Integral die Fläche unter einer Kurve?
Hallo Pascal,

nun nicht die Reihenfolge verändern. Erst muss du definieren, was du unter integrieren verstehst. Dann kannst du daraus die Rechenregeln herleiten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was also, wenn es genau darum ging, die Fläche unter dem Graphen zu bestimmen. Die Frage war dann, wie kann man das machen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zwei Namen gebe ich dir mal für eine Suche: Riemann und Lebesque. Siehe auch

[Artikel] Idee des Lebesque-Integrals

http://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung

Für tiefere Inhalte bin ich nicht der richtige Gespächspartner. Wink

Wink

01.05.2011, 23:14

Pascal95

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Das Integrieren ist klar:

Das Supremum über der Menge der verschiedenen Summen der Integrale der Treppenfunktion, die als Fläche des Rechtecks definiert sind mit dem Funktionswert links/rechts kleiner gleich dem Funktionswert der zu integrierenden Funktion.
So eine schöne Definition oder ähnlich habe ich mal in einem Video der Uni Tübingen gesehen und auch verstanden, was das bedeutet Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das Supremum gibt halt die kleinste Oberste Schranke an (Untersumme), weil alle Rechecke theoretisch unter der Kurve liegen.

Alternativ zur Untersumme gehts auch mit dem Infimum (Obersumme).

Edit:
Das Lebesgue-Integral hat den Unterschied zum Riemann-Integral, dass die Teilintegrale anders gewählt sind (Streifen / Balken).

01.05.2011, 23:37

Pascal95

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Nun bin ich beim verlinkten PDF bis zur 8ten Seite gekommen und das danach schien mir erst zu kompliziert, das werde ich mir noch ansehen und dann schauen ob es wirklich zu schwer ist, wie ich denke...

Aber wie geht's jetzt weiter, was muss ich jetzt machen?
Soll ich versuchen, das Lebesgue Integral ganz zu verstehen (also das Skript zu Ende lesen.) ?

Danke schon mal für deine Hilfe smile

smile

01.05.2011, 23:45

tigerbine

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Wenn du das mit den Streifen kennst, verstehe ich die Frage mit der Fläche nicht.

01.05.2011, 23:51

Pascal95

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Ja, das kenne ich. Allerdings approximiert das ja die Fläche.

Meine Frage hätte ich vielleicht besser so formulieren sollen:
Was hat die Steigung der Tangente an einem Punkt auf dem Graphen mit dem Flächeninhalt unter Kurve zu tun?

Dass das (bestimmte) Integral die Fläche angibt, ist ja klar.

Nur: Warum ist das dann die "Umkehrung" zum Ableiten?

Steigung ~ Fläche, den Zusammenhang verstehe ich nicht...

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02.05.2011, 00:22

system-agent

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Zitat:

Original von Pascal95
Nur: Warum ist das dann die "Umkehrung" zum Ableiten?

Das beantwortet gerade der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Der Satz ist gerade deshalb so wichtig weil er erklärt wie man Integrale ausrechnen kann und überraschenderweise geht das als "Umkehrung der Ableitung".

02.05.2011, 00:25

Pascal95

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Da hab ich erst mal was zum Lesen...

Witzigerweise wird man dann auf den "Fundamentalsatz der Analysis" verwiesen. Das sollte aber richtig sein, weil sich die Analysis mit Infinetisimalrechnung beschäftigt.
Ja, meint er ja auch "Fundamentalsatz der Analysis, auch bekannt als Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung"...

Wie heißt eigentlich der Satz?
Man berechnet das Integral von a bis b unter dem Graphen der Funktion f, indem man die Stammfunktion F berechnet und dann F(b)-F(a) rechnet...

?

Edit: Weiter unten lese ich, dass der damit zusammenhängt...

02.05.2011, 00:30

system-agent

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Ich verstehe deine Frage nicht.
Der Satz hat nicht "den Namen". Manche nennen ihn den "Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung", andere wieder nur "Fundamentalsatz", andere nennen ihn den "Hauptsatz" etc etc.
Wichtig ist auch nicht der Name, sondern was der Satz aussagt und erklärt. Und das ist gerade die Antwort auf deine Frage wieso die Integralrechnung und die Differentialrechnung so "eng" zusammenhängen.

02.05.2011, 00:32

Pascal95

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Ok, ich bin immer noch beim Lesen...

Wenn sich dadurch meine Frage klärt, was Fläche und Steigung miteinander zutun haben, wäre ich sehr zufrieden smile

smile

02.05.2011, 00:35

Pascal95

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Ich gedenke, jetzt erst mal Schluss zu machen und dann morgen weiterzumachen.

Danke schon mal für die Hilfe, bis morgen Wink

Wink

02.05.2011, 09:55

system-agent

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Zitat:

Original von Pascal95
Wenn sich dadurch meine Frage klärt, was Fläche und Steigung miteinander zutun haben, wäre ich sehr zufrieden smile

smile

Der Satz sagt, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ [Notation wie bei Wikipedia], deren Wert die Fläche unter dem Graph von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ angibt, differenzierbar ist.
Also eine ziemlich angenehme Funktion.

Übrigens ist die Sache mit der Fläche ein wenig verzwickter:
Das Integral berechnet nicht "den Flächeninhalt" unter dem Graphen, sondern den "orientierten Flächeninhalt" - zwei verschiedene Dinge.

02.05.2011, 11:53

Pascal95

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Hallo,

Zitat:

Original von system-agent
Der Satz sagt, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ [Notation wie bei Wikipedia], deren Wert die Fläche unter dem Graph von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ angibt, differenzierbar ist.

Und $\begin{eqnarray*} F' = f \end{eqnarray*}$ gilt... (so habe ich das verstanden)
Das wird durch den Differenzenquotienten gezeigt (Abstand der Punkte auf dem Graphen gegen Null, "von der Sekante zur Tangente")...

Zitat:

Original von system-agent
Übrigens ist die Sache mit der Fläche ein wenig verzwickter:
Das Integral berechnet nicht "den Flächeninhalt" unter dem Graphen, sondern den "orientierten Flächeninhalt" - zwei verschiedene Dinge.

Ja, der orientierte Flächeninhalt wird unter der x-Achse negativ berechnet. Die Flächenbilanz gibt allerdings den jeweiligen Betrag an, dazu muss man dann entsprechende Schnittstellen finden, um die Fläche positiv oder negativ zählen zu lassen...

Leider habe ich das von mir Gesuchte noch nicht finden können. Ich werde den Artikel aber weiterlesen, er ist ganz gut geschrieben Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn du willst, kannst du mir ansonsten auf die Sprünge helfen ...

02.05.2011, 12:03

system-agent

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Zitat:

Original von Pascal95
Und $\begin{eqnarray*} F' = f \end{eqnarray*}$ gilt... (so habe ich das verstanden)

Ja, das sagt der Satz auch noch.

Zitat:

Original von Pascal95
Ja, der orientierte Flächeninhalt wird unter der x-Achse negativ berechnet. Die Flächenbilanz gibt allerdings den jeweiligen Betrag an, dazu muss man dann entsprechende Schnittstellen finden, um die Fläche positiv oder negativ zählen zu lassen...

Genau darauf wollte ich dich hinweisen: Das Integral misst eben nicht den Flächeninhalt unter einer gewissen Kurve, sondern nur den orientierten Flächeninhalt.
Eine Flächenbilanz ist dann also etwas anderes als einfach nur ein Integral.

Zitat:

Original von Pascal95
Wenn du willst, kannst du mir ansonsten auf die Sprünge helfen ...

Dann musst du deine Frage präzise formulieren.
Der Zusammenhang zwischen Flächeninhalt [bzw orientiertem Flächeninhalt] und der Ableitung wird ja gerade durch den Satz erklärt.

02.05.2011, 12:06

Pascal95

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Nur leider wird mir durch die rein mathematische Formulierung, die ich zwar verstehe, nicht klar, warum der orientierte Flächeninhalt sozusagen invers zu der Tangentensteigung ist. Und das, obwohl ich die Formel hier verstehe. Unter dem Abschnitt "Der Beweis" ist es auch nur rein mathematisch formuliert.

Es erinnert ein bisschen daran: "Ich sehe es, aber ich glaube es nicht.", oder besser ich kann es mir nicht wirklich vorstellen...

02.05.2011, 12:24

system-agent

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Ich denke mal du solltest noch den Abschnitt hier lesen.

02.05.2011, 12:25

Pascal95

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Hmmm auf englisch Big Laugh

Big Laugh

Naja, ich werds mir mal anschauen und dann wieder schreiben...

02.05.2011, 12:50

Pascal95

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Ok, nun denke ich, dass ich es schon viel besser verstehe, es wurde dann gezeigt, wie man zum Differenzenquotienten kommt... Dazu wurde die Fläche unter der Kurve (orientierter Flächeninhalt) zur Hilfe genommen (Zusammenhang: Differential ~ Integral - rechnung).

Es hat mich zuerst gewundert, warum man den blaune Teil bis $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ noch gezeigt hat, wenn man nur die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ beschreiben möchte. Allerdings wird wohl noch dieser "Vorschub" benötigt, um alle möglichen Funktionswerte zu berechnen... (?)

02.05.2011, 13:07

system-agent

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Wieder eine Frage von dir die ich nicht verstehe.

Man muss doch irgendwo anfangen den Flächeninhalt auszurechnen und in dem englischen Artikel ist das von Null bis $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .
Gibt man keinen Anfang vor hat man auch keinen wohldefinierten Flächeninhalt. Übrigens gehts dabei nirgends um die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , sondern lediglich um den Flächeninhalt darunter, also um die Werte der Funktion $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ .

02.05.2011, 13:11

Pascal95

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Dann ist es doch eigentlich das, was den Differenzenquotient anhand der Integralrechnung herleitet, oder...

$\begin{eqnarray*} f(x) \approx \frac{A(x+h)-A(x)}{h} \end{eqnarray*}$ ist der Differenzenquotient, dieses "ungefähr $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ " kann durch ein $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ ersetzt werden, wenn $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ gegen Null geht $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$ .

02.05.2011, 13:35

system-agent

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Das ist nur eine intuitive Vorstellung, nicht mehr.
Man kann nicht einfach ein Ungefähr durch ein Gleichheitszeichen ersetzen, da kann nämlich alles mögliche schief gehen.
Der wirkliche Zusammenhang ist wie schon erwähnt gerade der, dass die Funktion, die den orientierten Flächeninhalt angibt [gemessen von einer gewissen Stelle aus] $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist und als Ableitung $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ hat.
Auch wenn es vielleicht intuitiv klar scheint, es muss sauber bewiesen werden.

Das heisst also, dass $\begin{eqnarray*} A(x+h)=A(x)+f(x)\cdot h+\text{Rest}(h) \end{eqnarray*}$ gilt, wobei $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to0}\frac{\text{Rest}(h)}{h}=0 \end{eqnarray*}$ gilt [das kommt direkt aus der Definition der Ableitung].
In diesem Sinne ist die Änderung des Flächeninhaltes von Null bis $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gegenüber von Null bis $\begin{eqnarray*} x+h \end{eqnarray*}$ ungefähr $\begin{eqnarray*} f(h)\cdot h \end{eqnarray*}$ .
Das gilt allerdings nur für kleine $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ .

02.05.2011, 13:45

Pascal95

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Ok, vielen Dank. Ist das eigentlich nur eine Annahme zu Beginn, dass $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist und als Ableitung $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ hat?
Es war klar, was $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist und was $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ ist, aber wie kann man sich sicher sein, dass $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ die Ableitung von $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ ist?

Oder wurde das erst klar, als man umgeformt hat zu:
$\begin{eqnarray*} f(x) \approx \frac{A(x+h)-A(x)}{h} \end{eqnarray*}$ ?

Dann könnte man sagen, so ist ja die Ableitung definiert, also haben wir's gezeigt ?

02.05.2011, 13:59

system-agent

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Zitat:

Original von Pascal95
Oder wurde das erst klar, als man umgeformt hat zu:
$\begin{eqnarray*} f(x) \approx \frac{A(x+h)-A(x)}{h} \end{eqnarray*}$ ?

Nochmals: Durch solch ein "Ungefähr"-Argument hat man garnichts gezeigt. Du kannst nicht sagen, dass dies und jenes ungefähr dem ist und damit hast du gezeigt dass etwas differenzierbar ist. Das ist nur die intuitive Idee - und obwohl diese letztlich richtig ist ersetzt das in keinster Weise einen sauberen Beweis.
Ausserdem wird auch nicht angenommen dass $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist. Es wird bewiesen dass dem so ist und dass $\begin{eqnarray*} A'(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ gilt. Genau das tut der Beweis vom Satz.

Und ja, da im Beweis gezeigt wird, dass der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h} \end{eqnarray*}$ existiert und gleich $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist, folgt per Definition der Ableitung, dass $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist und dass $\begin{eqnarray*} A'=f \end{eqnarray*}$ gilt.

02.05.2011, 15:08

Pascal95

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Hallo,

danke für deine Erklärung.

Zitat:

Original von system-agent
Und ja, da im Beweis gezeigt wird, dass der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h} \end{eqnarray*}$ existiert und gleich $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist, folgt per Definition der Ableitung, dass $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist und dass $\begin{eqnarray*} A'=f \end{eqnarray*}$ gilt.

Das war eigentlich nur noch das, was mir gefehlt hat.

Ich denke, dass man damit den Zusammenhang zwischen dem orientierten Flächeninhalt (Integralrechnung) und der Tangentensteigung (infenitesimal kleine Differenz der Punkte -> Ableitung) anschaulich gezeigt hat.

Dann wäre man doch fertig, oder Big Laugh

Big Laugh

02.05.2011, 16:57

system-agent

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Zitat:

Original von Pascal95
Ich denke, dass man damit den Zusammenhang zwischen dem orientierten Flächeninhalt (Integralrechnung) und der Tangentensteigung (infenitesimal kleine Differenz der Punkte -> Ableitung) anschaulich gezeigt hat.

verwirrt

Wieder etwas das ich nicht verstehe.
Wenn du den Beweis des Satzes hinschreibst dann hast du nichts "anschaulich" gezeigt, sondern mathematisch sauber. Ich will nicht sagen dass die Anschauung nicht die Idee für den Beweis liefern würde, aber Anschauung ist eben kein Beweis.

Der Zusammenhang ist dass die Flächeninhaltsfunktion [orientierte Fläche!] differenzierbar ist. Nicht mehr und nicht weniger.
Vor allem brauchst du dann keine schwammigen Begriffe wie "infinitesimal kleine Differenz" mehr zu bemühen.

Zitat:

Original von Pascal95
Dann wäre man doch fertig, oder Big Laugh

Big Laugh

Schon möglich, ich weiss ja nicht was eigentlich dein Ziel war einzusehen. Wenn es das Ziel war einzusehen dass $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, dann ja.

02.05.2011, 17:15

Pascal95

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Naja, eigentlich wollte ich $\begin{eqnarray*} F' = f \end{eqnarray*}$ verstehen und das habe wurde ja mit Hilfe der Flächenfunktion $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ , die eben die Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist, gezeigt.

Das ist doch richtig, dass die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Flächenfunktion $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ ist.. (ich bin mir sehr sicher, ja)

02.05.2011, 17:22

system-agent

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Ich glaube du siehst das in der falschen Reihenfolge.
Zuerst hat man einfach mal eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Dann kann man sich daraus eine neue Funktion bauen, nämlich $\begin{eqnarray*} F(x):=\int\limits_{x_0}^xf(t)\dd t \end{eqnarray*}$ [das $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ ist nur mit der speziellen Wahl $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ ].
So, nun hast du zwei Funktionen und es ist nicht klar ob und was diese miteinander zu tun haben sollen, noch was für Eigenschaften die neue Funktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ hat.

Nun wird aber gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ eine differenzierbare Funktion ist und ausserdem hat diese neue Funktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ als Ableitungsfunktion die alte Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .
Das ist der Zusammenhang zwischen den beiden Funktionen.

Die Differenzierbarkeit dieser neuen Funktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ wurde via die Definition der Differenzierbarkeit, also über den Differentialquotienten, gezeigt.

02.05.2011, 17:32

Pascal95

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Hallo,

Zitat:

Original von system-agent
Zuerst hat man einfach mal eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Dann kann man sich daraus eine neue Funktion bauen, nämlich $\begin{eqnarray*} F(x):=\int\limits_{x_0}^xf(t)\dd t \end{eqnarray*}$ .

Ok, und es ist klar, dass F die Fläche unter der Kurve angibt (durch das Integralzeichen) von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , allerdings unklar, ob dies die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

So, nun hast du zwei Funktionen und es ist nicht klar ob und was diese miteinander zu tun haben sollen, noch was für Eigenschaften die neue Funktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ hat.

Das habe ich also richtig verstanden (?)
Ich hoffe, ja.

Zitat:

Original von system-agent
Nun wird aber gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ eine differenzierbare Funktion ist und ausserdem hat diese neue Funktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ als Ableitungsfunktion die alte Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .
[...]
Die Differenzierbarkeit dieser neuen Funktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ wurde via die Definition der Differenzierbarkeit, also über den Differentialquotienten, gezeigt.

Das wurde m.E. hier und hier gezeigt, indem man $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$ laufen lassen hat.
Auf der deutschen Wiki-Seite sieht man, dass $\begin{eqnarray*} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = f \end{eqnarray*}$ für h gegen Null gilt...

02.05.2011, 17:45

system-agent

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Zitat:

Original von Pascal95
Ok, und es ist klar, dass F die Fläche unter der Kurve angibt (durch das Integralzeichen) von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , allerdings unklar, ob dies die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist.

Genau.

Zitat:

Original von Pascal95
Das wurde m.E. hier und hier gezeigt, indem man $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$ laufen lassen hat.
Auf der deutschen Wiki-Seite sieht man, dass $\begin{eqnarray*} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = f \end{eqnarray*}$ für h gegen Null gilt...

Es wurde auf beiden Seiten bewiesen dass dies gilt, nämlich dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = f(x) \end{eqnarray*}$ .

Alles was ich dir sagen wollte ist, dass du nicht glauben sollst, dass der Abschnitt über "Geometric Intuition" eine Begründung oder ein Beweis wäre.
Der richtige Beweis nutzt zwar die intuitive Idee und Vorstellung, aber keine schwammigen Formulierungen oder unklare Wörter.

02.05.2011, 18:05

Pascal95

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Ok, jetzt sollte es mir klar sein.

Vielen Dank smile

smile

02.05.2011, 22:43

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Schau hier - ein Beitrag aus den Kindertagen des MatheBoards.

03.05.2011, 12:36

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold,

dein Beitrag im anderen Thread hat mir sehr weitergeholfen.

Nun verstehe ich den Zusammenhang zwischen Differential- und Integralrechnung schon wieder ein Stück besser.

Auch wenn man noch den Mittelwertsatz der Integralrechnung erwähnen könnte. Obwohl ich mir gar nicht so sicher bin, ob der wirklich notwendig ist, denn wenn $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ , dann auch $\begin{eqnarray*} x+h \to x \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} =F' =f \end{eqnarray*}$ deswegen.

Habe ich nun recht, dass man hier gezeigt hat:
Der orientierte Flächeninhalt unter einer Kurve $\begin{eqnarray*} G_f \end{eqnarray*}$ (Graph der stetig differenzierbaren Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ) in einem beliebigen Intervall $\begin{eqnarray*} [x_0, x_0+h] \end{eqnarray*}$ ist differenzierbar und hat für $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \end{eqnarray*}$ , der gleich $\begin{eqnarray*} F' \end{eqnarray*}$ ist (Definition der Ableitung, Sekante wird zur Tangente, also wird aus dem Differenzenquotienten ein Differentialquotient, richtig so?) und so ganz sicher bin ich mir noch nicht warum wir jetzt sagen können: $\begin{eqnarray*} F' = f \end{eqnarray*}$ ...

Das wurde mir leider noch nicht ganz klar...
verwirrt

verwirrt

Ist das so, weil wir $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ als "Flächenfunktion" definiert haben und die Ableitung dann invers dazu steht? Das wollten wir doch gerade zeigen?

03.05.2011, 18:53

system-agent

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Um ehrlich zu sein, das was du schreibst ist alles andere als klar.

Wie schon öfters erwähnt, der Satz zeigt, dass für eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf einem Intervall jede Integralfunktion $\begin{eqnarray*} F(x):=\int\limits_{x_0}^xf(t)\dd t \end{eqnarray*}$ [wobei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ aus dem Intervall fest ist] eine Stammfunktion für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist.

Dass dieses $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ eben genau noch die orientierte Fläche unter dem Graphen von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ angibt ist beim Beweis dieser Tatsache völlig unwichtig.

03.05.2011, 19:10

Pascal95

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Ok, aber wie haben wir $\begin{eqnarray*} F' = f \end{eqnarray*}$ gezeigt? verwirrt

verwirrt

Wenn du jetzt sagst, dass das über den Mittelwertsatz geht und dass eben dieser "Mittel-X-Wert" richtung $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ geht für $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ ist klar, das kann ich mal so als klar ansehen, weil dieser mittelwert im Intervall drin sein muss,
wäre ich zufrieden, weil ich das dann gut (oder auch nicht) verstehe.....

edit. Mit x0 meine ich die linke Intervallgrenze für den Bereich, in dem dieser Mittelwert sein soll. (dieses xi oder wie das heißt...)

03.05.2011, 19:25

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Pascal95
Ok, aber wie haben wir $\begin{eqnarray*} F' = f \end{eqnarray*}$ gezeigt? verwirrt

verwirrt

Das haben wir doch jetzt die ganze Zeit besprochen unglücklich

unglücklich

.

Man schreibt den Differentialquotienten von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ hin und betrachtet den Grenzwert $\begin{eqnarray*} h\to0 \end{eqnarray*}$ . Man stellt dann fest dass dieser Grenzwert existiert und den Wert $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ hat.
Das zeigt doch [nach Definition der Differenzierbarkeit] einerseits, dass $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist [weil der Grenzwert existiert] und andererseits dass $\begin{eqnarray*} F'(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ ist [weil das der Wert des Grenzwerts ist].

03.05.2011, 19:30

Pascal95

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Zitat:

Original von system-agent
[...]und andererseits dass $\begin{eqnarray*} F'(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ ist [weil das der Wert des Grenzwerts ist].

"Warum" könnte ich wieder hier fragen?

Kann man es denn nicht über den Mittelwertsatz begründen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \lim_{h\to 0} f(\xi_h) = f(x) \end{eqnarray*}$ gilt?

Mir ist völlig klar, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = F'(x) \end{eqnarray*}$ ...

03.05.2011, 19:42

system-agent

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Zitat:

Original von Pascal95
Kann man es denn nicht über den Mittelwertsatz begründen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \lim_{h\to 0} f(\xi_h) = f(x) \end{eqnarray*}$ gilt?

Genau so wurde es doch auch begründet.
Man muss eben sauber begründen wie man von
$\begin{eqnarray*} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} f(\xi_h) \end{eqnarray*}$ kommt - und das tut der Mittelwertsatz.

03.05.2011, 19:45

Pascal95

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Wenn ich mich recht besinne, gibt es doch einen Mittelwertsatz der Integralrechnung und einen der Differentialrechnung. (?)

Edit: Mir ist klar, dass der der Integralrechnung gemeint ist, das war nur eine Verständnisfrage....

03.05.2011, 19:53

system-agent

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Ja, es gibt zwei Stück.

03.05.2011, 19:56

Pascal95

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Ok, habe ich dann richtig verstanden?

Wir haben eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .
Dann bestimmen wir das Integral im Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ unter der Kurve $\begin{eqnarray*} G_f \end{eqnarray*}$ , also eine Fläche, das ist dann $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(t) \, dt \end{eqnarray*}$ .

Soweit ist das aber ganz sicher richtig, oder Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann mach ich weiter...

Edit: Im wikiartikel wurden andere variablen benutz, ich weiß.

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