Warum ist das Integral die Fläche unter einer Kurve? - Seite 2

03.05.2011, 20:07

system-agent

Ich würde deinen zweiten Punkt umformulieren in

Dann bestimmen wir im Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ das Integral $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^bf(t)\dd t \end{eqnarray*}$ . Dieses Integral gibt zugleich noch die orientierte Fläche an die der Graph von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ einschliesst.

03.05.2011, 20:15

Dopap

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ja, so gefällt mir die Formulierung.
Man kann noch weiter gehen und statt von orientierter Fläche von
orientierter Flächenmaßzahl sprechen...

03.05.2011, 20:19

Pascal95

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Nun beschreibt diese Formel das Integral (Newton-Leibniz-Formel):
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx = \frac{F(a+b) - F(a)}{h} \end{eqnarray*}$ und wird dann umgeformt zu $\begin{eqnarray*} \frac{\int_0^{a+b} \! f(t) \, dt - \int_0^a \! f(t) \, dt}{h} = \frac{\int_a^b \! f(t) \, dt }{h} \end{eqnarray*}$ , wobei man den Abstand $\begin{eqnarray*} b-a \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ nennen kann.

(Latex gefummel hat ein bisschen lange gedauert.)

03.05.2011, 20:23

system-agent

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Zitat:

Original von Pascal95
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx = \frac{F(a+b) - F(a)}{h} \end{eqnarray*}$

Das ist doch Unsinn. Links steht kein $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ , rechts auf einmal schon.

Ich frage mich was denn nun noch eigentlich konkret deine Frage ist?

03.05.2011, 20:28

Pascal95

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Achja stimmt, das habe ich verwechselt.
Ich meine natürlich $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx = F(a+b) - F(a) \end{eqnarray*}$ .
Dann kann ich ja $\begin{eqnarray*} h:= b-a \end{eqnarray*}$ sagen, dann auch:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx = F(a+b) - F(a) = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{\int_0^{a+b} \! f(t) \, dt - \int_0^a \! f(t) \, dt}{h} = \frac{\int_a^b \! f(t) \, dt }{h} = \frac{\int_a^{a+h} \! f(t) \, dt }{h} \end{eqnarray*}$

Edit:
natürlich ohne das h im nenner, habe mich nur verschrieben,

03.05.2011, 20:45

system-agent

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Zitat:

Original von Pascal95
Ich meine natürlich $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx = F(a+b) - F(a) \end{eqnarray*}$ .

Auch das ist falsch. Es ist $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^bf(t)\dd t = F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$ , nicht mehr und nicht weniger. Das zeigt der Satz doch gerade.

03.05.2011, 22:03

Pascal95

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Ich war kurz weg...

Ja, ich komme mit Latex immer durcheinander. Ich kann mir den Code nicht vorstellen, wenn er dort ist, Vorschau habe ich nicht gemacht...
Und außerdem muss ich zugeben, dass ich nicht wirklich nachgedacht habe, als ich geschrieben habe.

Das $\begin{eqnarray*} \frac{F(b) - F(a)}{b-a} = \frac{F(a+h) - F(a)}{h} \end{eqnarray*}$ ist ja einfach nur der Differenzenquotient.
Das $\begin{eqnarray*} \lim (b-a)\to 0: \frac{F(b) - F(a)}{b-a} = \lim h\to 0: \frac{F(a+h) - F(a)}{h} \end{eqnarray*}$ ist ja einfach nur der [Edit] Differentialquotient. (für $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ gegen Null)

Nun gibt es nach dem Mittelwertsatz ein $\begin{eqnarray*} x_0 \in [a,b] \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} h \cdot f(x_0) \end{eqnarray*}$ anschaulich gesehen die gleiche Fläche wie $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b f(t)\dd t \end{eqnarray*}$ hat, also $\begin{eqnarray*} h \cdot f(x_0) = \int\limits_a^{a+h} f(t)\dd t \end{eqnarray*}$ . (Das ist ja so ähnlich, wie wenn man den orientierten Flächeninhalt unter einer Kurve in einem Intervall durch die Länge des Intervalls dividiert, dann hat man soetwas wie den Mittel-Funktionswert.)

Und an dieser Stelle muss ich zugeben muss ich in Wikipedia reingucken, weil ich nicht genau weiter weiß.

Dort heißt es dann, dass wegen $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x_0 \to a \end{eqnarray*}$ . Das ist mir auch klar, weil das $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ in dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,a+h] \end{eqnarray*}$ sein soll, hat es nun mal "keinen Platz" mehr.

Und dann deswegen $\begin{eqnarray*} f(x_0) = f(a) \end{eqnarray*}$ .

Also ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} F'(a)=f(a) \end{eqnarray*}$ . Also gibt es für beliebige $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine Ableitung $\begin{eqnarray*} F'(a)=f(a) \end{eqnarray*}$ , damit wäre doch gezeigt, dass gilt: $\begin{eqnarray*} F'=f \end{eqnarray*}$ .

Ist das nun so besser?
Ich konnte mich gerade ein bisschen ausruhen also wäre es dumm, wenn da noch Fehler enthalten wären.

Vielen Dank schon einmal für deine Hilfe.

04.05.2011, 07:42

system-agent

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Da hast du dich ein wenig im Variablenwust verheddert, auch wenn alles stimmt.
Wenn du $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+h \end{eqnarray*}$ schreibst, dann musst du dem Definitionsintervall der Funktion einen anderen Namen geben, zb $\begin{eqnarray*} [c,d] \end{eqnarray*}$ .
In deiner Notation ist $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die Variable die laufen darf, und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die Stelle, an der man die Ableitung von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ausrechnen will.
Vor allem musst du dann noch irgendwo erwähnen, dass $\begin{eqnarray*} h=b-a \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Pascal95
Nun gibt es nach dem Mittelwertsatz ein $\begin{eqnarray*} x_0 \in [a,b] \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} h \cdot f(x_0) \end{eqnarray*}$ anschaulich gesehen die gleiche Fläche wie $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b f(t)\dd t \end{eqnarray*}$ hat, also $\begin{eqnarray*} h \cdot f(x_0) = \int\limits_a^{a+h} f(t)\dd t \end{eqnarray*}$ .

Naja, $\begin{eqnarray*} hf(x_0) \end{eqnarray*}$ hat keine Fläche, es ist nur eine Zahl. Du meinst eher das Rechteck unter dem Graphen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit Basisseite von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} a+h \end{eqnarray*}$ und Höhe $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Pascal95
Und dann deswegen $\begin{eqnarray*} f(x_0) = f(a) \end{eqnarray*}$ .

Und das ist genau die Stelle an der man die vorausgesetzte Stetigkeit der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ braucht. Sprich, also dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x_0\to a}f(x_0)=f(a) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Pascal95
Also ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} F'(a)=f(a) \end{eqnarray*}$ . Also gibt es für beliebige $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine Ableitung $\begin{eqnarray*} F'(a)=f(a) \end{eqnarray*}$ , damit wäre doch gezeigt, dass gilt: $\begin{eqnarray*} F'=f \end{eqnarray*}$ .

Ja.

04.05.2011, 16:50

Pascal95

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Ok, vielen Dank.
Ich hoffe nun, dass ich es verstanden habe Augenzwinkern

04.05.2011, 17:14

Leopold

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Zitat:

Original von system-agent
Dass dieses $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ eben genau noch die orientierte Fläche unter dem Graphen von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ angibt ist beim Beweis dieser Tatsache völlig unwichtig.

Im Gegenteil, das ist zentral.

04.05.2011, 17:32

Pascal95

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Hmmm,

ich weiß nicht genau, was ich nun glauben soll.

Dass die Fläche unter der Kurve durch das Integral beschrieben wird, ist auf jeden Fall richtig. (wenn $\begin{eqnarray*} f(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ in eben jenem Intervall)

Da ich nun verstehen wollte, was nun dieser orientierte Flächeninhalt mit dem Differentialquotienten zu tun hat, denke ich, dass mir das geholfen hat.

Es könnte natürlich sein, dass es rein für den Beweis "völlig unwichtig" ist (so habe ich das verstanden)...

verwirrt

04.05.2011, 18:10

Leopold

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Glaube mir, nicht system-agent (natürlich nur hier, sonst darfst du ihm ruhig glauben Augenzwinkern

). Die Idee des Integrals ist ja gerade der orientierte Flächeninhalt unter einer Kurve. Wenn man daher von einem naiven Flächeninhaltsbegriff ausgeht, kann man auch einen heuristischen Beweis des Hauptsatzes darauf gründen (siehe den Link in meinem ersten Beitrag). Der Kerngedanke ist so simpel wie genial:

$\begin{eqnarray*} \frac{\int_a^{x +\dd x} f(t)~\dd t - \int_a^x f(t)~\dd t}{\dd x} = \frac{\mbox{Rechtecksfläche}}{\mbox{Rechtecksbreite}} = \mbox{Rechteckshöhe} = f(x) \end{eqnarray*}$

Das Ganze für eine infinitesimale Breite $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ .

Natürlich kann man den Zusammenhang mit dem orientierten Flächeninhalt auch gänzlich ignorieren, indem man die Definition nach Riemann oder Lebesgue zugrunde legt. Aber diese Definitionen sind ja auch nichts anderes als Präzisierungen dieses Grundgedankens. Weil einem für eine logisch einwandfreie Begriffsbildung ein naiver Flächeninhaltsbegriff irgendwann einmal nicht mehr genügt.

Trotzdem bleibt es im Kern beim Grundgedanken: Integral gleich orientierter Flächeninhalt.

Und wenn dich das alles jetzt noch mehr verwirrt, dann ist das genau richtig. Per aspera ad astra ...

04.05.2011, 18:23

Pascal95

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Naja, ehrlich gesagt verwirrt mich das nicht...

Die Formel, die du mir dahin geschrieben hast, gefällt mir auch ganz gut. Letztendlich hast du hier den Begriff der Fläche des "Rechtecks" noch hineingebracht und dieser Wert dividiert durch die Breite nähert sich dann $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ beliebig nahe.

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