Galoisgruppe bestimmen [SÜA]

02.05.2011, 02:17

tigerbine

Galoisgruppe bestimmen [SÜA]

Ich möchte die Körpererweiterung $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3})|\mathbb Q \end{eqnarray*}$ untersuchen. Eine Lösung liegt mir vor, ich komme aber nicht an allen Stellen mit. Daher meine Fragen hier.

Zunächst mal die Frage, ist das eine galoissche Erweiterung. Sie ist ist endlich und das separable Polynom aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[x] \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} p=x^4-5x^2+6=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ zerfällt in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ in Linearfaktoren. Somit ist die Körperweiterung nach einem Satz galoissch.

Die Körpererweiterung kann man in Etappen machen mit den beiden Minimalpolynomen $\begin{eqnarray*} m_2=x^2-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m_3=x^2-3 \end{eqnarray*}$ .

Sie besitzt ferner eine Darstellungen mit einem primitiven Element. Da es beide male Quadratwurzeln sind, kann man diese hier einfach addieren und es gilt: $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3})|\mathbb Q =\mathbb Q(\sqrt{2}+\sqrt{3})|\mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Das zur zweiten Darstellung zugehörige Minimalpolynom ist $\begin{eqnarray*} m=x^4-10x^2+1 \end{eqnarray*}$ .

Insgesamt kommen wir auf eine Körpererweiterung vom Grad 4. Da es sich um eine Galois-Erweiterung handelt, kann man die Automorphismengruppe $\begin{eqnarray*} G:=\text{Aut}(\mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3})|\mathbb Q) \end{eqnarray*}$ mit einer Untergruppe $\begin{eqnarray*} G_M \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ identifizieren. Was ist denn nun die Galois-Gruppe der Körperweiterung? G oder Gm?

Aus dem Hauptsatz der Galoistheorie folgt |G|=4. Da kennen wir nur 2 Isomorphietypen. Die zyklische Gruppe $\begin{eqnarray*} C_4 \end{eqnarray*}$ und die kleinsche Vierergruppe $\begin{eqnarray*} C_2 \times C_2 \end{eqnarray*}$ (wenn man die so definiert, ansonsten muss ich wohl noch ein "isomorph" einfügen).

Wie bekomme ich nun raus, welche es ist? Diese Automorphismengruppe habe ich noch nicht verstanden. Über die $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ werde ich wohl nicht weiterkommen, da die sowohl <(1234)> als auch <(12),(34)> enthält.

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Im Grunde trifft mich hier wohl, dass ich das Fortsetzungslemma (@Mystic S. 41) nicht verstehe. Nach Definition ist

$\begin{eqnarray*} \text{Aut}(\mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3})|\mathbb Q) = \{\alpha \in \text{Aut}(\mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3}))~|~\alpha_{|\mathbb Q}=id_{\mathbb Q} \} \end{eqnarray*}$

Welche Freiheiten habe ich also, so einen Automorphismus zu bauen? Warum ist es vielleicht ausreichend zu betrachten, auf was die adjungierten Elemente abgebildet werden. In der Lösung wird nur intern abgebildet, also $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \to \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \to \pm \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ . Warum darf man die nicht tauschen, also $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \to \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ? Ist das wie hier Körperisomorphismus [ÜAB] ?

Wenn ich dies mache, komme ich auf 4 verschiedene Automorphismen der Ordnung 2 und damit zum Isomorphietyp $\begin{eqnarray*} C_2 \times C_2 \end{eqnarray*}$

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Die Untergruppen von $\begin{eqnarray*} C_2 \times C_2 \end{eqnarray*}$ kann ich von Hand bestimmen : {1}, <(12)>, <(34)>, <(12)(34)>. Als echte Zwischenkörper müßte es geben $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2}), \mathbb Q(\sqrt{2}), \mathbb Q(\sqrt{6}) \end{eqnarray*}$

Nun muss man noch eine Zuordnung machen, siehe Bild im Anhang.

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Wie wäre das ganze gelaufen, wenn man mit dem primitiven Element gemacht hätte? Wie hätte man da die Nullstellen permutieren dürfen?

Ist nun doch ziemlich viel geworden. Ups

Bitte zitiert die Stelle, auf die ihr Antwortet. Danke. Augenzwinkern

02.05.2011, 18:55

Elvis

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Mit $\begin{eqnarray*} \sigma_1,...,\sigma_4 \end{eqnarray*}$ hat man schon $\begin{eqnarray*} 4=(K/\mathbb Q) \end{eqnarray*}$ Automorphismen, also die maximale Anzahl. Ausserdem wäre wegen $\begin{eqnarray*} \sigma(\sqrt 2 )= \sqrt 3 \Rightarrow \sigma (2) = 3 \end{eqnarray*}$ eine solche Abbildung $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ nicht fix auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Sonst noch Fragen ?

02.05.2011, 18:58

tigerbine

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Stimmt der Rest meiner Gedanken? Was ist denn nun die Galois-Gruppe der Körperweiterung? G oder Gm?

Wie mache ich das dann bei anderen Aufgaben, um die Automorphismen zu bestimmen. Ist es hier Glück mit der "4"? Darf man nur die Nullstellen einer Zwischenerweiterung jeweils permutieren? Das Gegenargument $\begin{eqnarray*} \sigma(\sqrt 2 )= \sqrt 3 \Rightarrow \sigma (2) = 3 \end{eqnarray*}$ habe ich verstanden.

02.05.2011, 19:13

Elvis

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G ist die Galoisgruppe, das sind Automorphismen von K, die den Grundkörper elementweise festlassen. Gm ist die Untergruppe der Sm, der symmetrischen Gruppe, die auf den Nullstellen operiert. G ist isomorph zu Gm, m.a.W. man kann in solchen Beispielen die Galoisgruppe bestimmen indem man die Wurzeln permutiert. Aber eben nur die Wurzel von irreduziblen Polynomen $\begin{eqnarray*} (x^2-2)(x^2-3)=x^4-5x^2+6 \end{eqnarray*}$ .
Das mit der 4 ist "Glück" , ganz so leicht ist es nicht immer , wenn der Grad der Körpererweiterung größer wird , werden die Aufgaben naturgemäß schwieriger. Augenzwinkern

02.05.2011, 19:19

tigerbine

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Zitat:

Aber eben nur die Wurzel von irreduziblen Polynomen

Ok, das ist ja schon mal ein wichtiger operativer Hinweis. Gibt es da einen Satz o.Ä. zu?

Dieses Beispiel hätten wir dann. Ich suche mir ein neues.

03.05.2011, 18:16

Elvis

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Bosch 4.3 "Die Galois-Gruppe einer Gleichung"

Satz 1. *** f ist genau dann irreduzibel, wenn Gal(L/K) transitiv auf der Menge der Nullstellen *** operiert, d.h. ***

(Siehe auch den Beweis zu Satz 1, da wird meine Aussage sehr deutlich.)

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