konvergente Folge reeller Zahlen

02.05.2011, 08:47

Smialaajk

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konvergente Folge reeller Zahlen

Hallo,
ich hänge zur Zeit bei folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ sei eine konvergente Folge mit $\begin{eqnarray*} x_n := a \end{eqnarray*}$ . Es gibt dann ein Element $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen ist jetzt: $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb N \forall n \geq n_0: | rx_n-ra| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Bisher habe ich keinen richtigen Ansatz, ich hätte jetzt versucht, es erst einmal umzuformen.

$\begin{eqnarray*} |rx_n - ra| \geq |rx_n|-|ra| \end{eqnarray*}$

Hat jemand einen Tipp für mich?

Grüße Smialaajk

02.05.2011, 08:56

klarsoweit

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RE: konvergente Folge reeller Zahlen

Zitat:

Original von Smialaajk
$\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ sei eine konvergente Folge mit $\begin{eqnarray*} x_n := a \end{eqnarray*}$ .

Das heißt, es handelt sich um eine konstante Folge mit jeweils dem Wert a ? verwirrt

verwirrt

02.05.2011, 09:00

Smialaajk

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Also lim x_n ist a, der Grenzwert soll a sein. Vllt habe ich mich da unklar ausgedrückt

02.05.2011, 09:02

Smialaajk

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Entschuldige, ich meine natürlich nicht $\begin{eqnarray*} x_n := a \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} lim x_n = a \end{eqnarray*}$

02.05.2011, 09:57

klarsoweit

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OK, dann könntest du doch einfach r=1 nehmen, oder?

02.05.2011, 10:27

Smialaajk

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theoretisch schon, aber soll das nicht für jedes r aus den reellen Zahlen gelten und nicht explizit für ein r ?

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02.05.2011, 10:57

klarsoweit

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So wie es formuliert ist, nicht. Am besten postest du mal den Aufgabentext im originalen Wortlaut.

02.05.2011, 11:05

Smialaajk

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...und es sei $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

02.05.2011, 11:09

klarsoweit

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Ah, das klingt schon anders. Wähle $\begin{eqnarray*} \epsilon^* := \frac{\epsilon}{|r|} \end{eqnarray*}$ . Was muß aufgrund der Konvergenz der Folge x_n gelten?

02.05.2011, 11:18

Smialaajk

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$\begin{eqnarray*} |x_n - n| < \epsilon \forall n > N \end{eqnarray*}$ meinst du oder?

02.05.2011, 11:23

Smialaajk

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bzw a statt n als Grenzwert

also |x_n - a| < epsilon

02.05.2011, 11:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von Smialaajk
$\begin{eqnarray*} |x_n - n| < \epsilon \forall n > N \end{eqnarray*}$ meinst du oder?

Ja, aber eben nicht epsilon, sondern epsilon-* nehmen:

$\begin{eqnarray*} |x_n - a| < \epsilon^* ~ \forall n > N \end{eqnarray*}$

02.05.2011, 11:59

Smialaajk

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Mir ist noch unklar, wieso du hier sagen kannst dass der Term kleiner als epsilon* ist. Wieso dürfen wir das sagen?

02.05.2011, 12:08

klarsoweit

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Wieso nicht? epsilon-* ist > 0 und die Konvergenzeigenschaft sagt ja gerade, daß man zu jeder positiven Zahl - also auch zu epsilon-* - ein N findet, so daß die Ungleichung gilt.

02.05.2011, 12:17

Smialaajk

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Stimmt, du hast recht.

Wir haben dann wie folgt weitergerechnet:

$\begin{eqnarray*} |x_n -a| < \epsilon* \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x_n-a| < \frac{\epsilon}{|r|} \end{eqnarray*}$

mit den Betrag |r| multiplizieren.

$\begin{eqnarray*} |x_nr-ar < \epsilon \end{eqnarray*}$

qed.

Also mit dem Betrag multiplizieren würden wir jetzt noch ausführlicher nach den Definitionen des Betrages berechnen.

Wäre das so ein Beweis?

02.05.2011, 13:03

klarsoweit

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Ja.

Freude

02.05.2011, 21:15

Noobila

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Darf ich mal ganz doof fragen, was der Unterschied zwischen epsilon-* und epsilon ist? Bzw. was der * genau bedeutet?

Danke schnonmal smile

smile

03.05.2011, 07:09

klarsoweit

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Ich wollte damit nur ausdrücken, daß epsilon-* eine andere Variable ist als epsilon. Ich hätte alternativ auch hugo oder otto nehmen können. smile

smile

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