Beweis orthogonale Familie

02.05.2011, 13:12	theo001	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis orthogonale Familie Hi, Sei V der Raum der auf $\begin{eqnarray} [-\pi,\pi] \end{eqnarray}$ stetigen reellwertigen Funktionen mit Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \langle f,g \rangle = \int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)dx \end{eqnarray}$ , für $\begin{eqnarray} f,g \in V \end{eqnarray}$ . Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray} \{1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,sin3x,cos3x,...\} \end{eqnarray}$ eine orthogonale Familie in V ist. Idee: Eine Familie heißt orthogonal, wenn für alle ihre Elemente $\begin{eqnarray} (v_i,...,v_j) \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \langle v_i,v_j \rangle = 0 \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} i \neq j \end{eqnarray}$ . Also zwei beliebige verschiedene Elemente aus der Familie müssen orthogonal zueinander sein. Im Prinzip muss dann für alle $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)dx = 0 \end{eqnarray}$ Ich habe das mithilfe des Taschenrechners auch schon mit einigen Werten versucht; allerdings habe ich momentan keine Idee, wie ich das für alle Elemente beweisen soll. Vielen Dank im Voraus.
02.05.2011, 13:58	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis orthogonale Familie Ja dann würde ich mal mit $\begin{eqnarray} \int_{-\pi}^\pi sin(mx) \cdot sin(nx)~dx \end{eqnarray}$ anfangen.
02.05.2011, 20:42	theo001	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wie meinst Du das? Also so, dass ich beweisen muss, dass: $\begin{eqnarray} \int_{-\pi}^\pi sin(mx) \cdot sin(nx)~dx = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{-\pi}^\pi sin(mx) \cdot cos(nx)~dx = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{-\pi}^\pi cos(mx) \cdot cos(nx)~dx = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{-\pi}^\pi sin(mx) \cdot 1~dx = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{-\pi}^\pi cos(mx) \cdot 1~dx = 0 \end{eqnarray}$ Mit vollständiger Induktion scheint das ja zumindest nicht zu klappen, oder doch?
03.05.2011, 10:05	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Die letzten beiden Integrale gehen so und die anderen kann man mit partieller Integration angehen.

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