Jordansche Normalform

02.05.2011, 15:39

Jean-Louis Bouffon

Jordansche Normalform

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \in \mathbb C ^{4 \times 4} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich habe das charakteristische und minimale Polynom bestimmt, beide sind: $\begin{eqnarray*} (1-x)(2-x)^{3} \end{eqnarray*}$ . Dabei bekomme ich als Jordansche Normalform: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Stimmt das so, ich bin mir unsicher?

02.05.2011, 15:43

jester.

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Klick

02.05.2011, 16:24

Jean-Louis Bouffon

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Zitat:

Original von jester.
link Augenzwinkern

Cool, ich wusste gar nicht, dass Wolfram Alpha auch so komplizierte Sachen machen kann... Freude

Ist bei der JNF egal, ob ich die Einsen über oder unter die Hauptdiagonale schreibe?

02.05.2011, 16:34

jester.

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Zitat:

Original von Jean-Louis Bouffon
Ist bei der JNF egal, ob ich die Einsen über oder unter die Hauptdiagonale schreibe?

Ja, das kann man so oder so definieren, denn in deinem konkreten Beispiel gilt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}&&&1 \\ &&1& \\ &1&& \\ 1&&&\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&&& \\ &2&& \\ &1&2& \\ &&1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}&&&1 \\ &&1& \\ &1&& \\ 1&&&\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1&& \\ &2&1& \\ &&2& \\ &&&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und dann kann man noch ganz leicht die 1 wieder an die erste Position bringen und den Dreier-Block nach unten.

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