Zyklische Gruppen - abelsch |
| 02.05.2011, 16:05 | Sonja_Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Zyklische Gruppen - abelsch Hallo, ich habe mal eine Verständnisfrage. Ich weiß, dass jede Gruppe mit x^2=e abelsch ist. Und ich weiß auch, dass jede zyklische Gruppe abelsch ist. Aber nun die große PReisfrage: Gilt x^2=e in jeder zyklischen Gruppe? Meine Ideen: Nehmen wir die zyklische Gruppe der Ordnung 2. Sie besteht aus e, a. Damit wäre aa=a^2=e gegeben. Nehmen wir die zyklische Gruppe der Ordnung 4. Sie besteht aus e, a, a^2 und a^3. Damit wäre aa=a^2 gegeben. Aber dies wäre ja noch nicht e, oder?! Außerdem gilt hier a=a^-1?! Beste Grüße, Sonja |
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| 02.05.2011, 16:11 | Merlinius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das gilt nun wirklich nicht in jeder zyklischen Gruppe. Nimm . Wie Du vielleicht weißt, ist jede endliche zyklische Gruppe isomorph zu einer von diesen Gruppen. Und davon sind nur in einer einzigen Gruppe die Elemente selbstinvers, nämlich . Andersherum: Angenommen, Du hast eine Gruppe mit mehr als zwei Elementen, in der alle Elemente selbstinvers sind. Warum kann diese dann nicht zyklisch sein? |
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| 02.05.2011, 16:38 | Sonja_Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, man hat ja nur ein Element, dass alle anderen Elemente herstellt... und wenn jedes selbstinvers wäre. das wär ja quatsch... aber so richtig hab ich das noch nicht verstanden.. Ist denn die Bedingung g^2=e für gruppen ich sag mal, selten? Oder gibt es viele Gruppen, die diese Bedingung erfüllen?! |
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| 02.05.2011, 16:51 | Merlinius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na ja, was heißt "viel"? 
Über die "Häufigkeit" des Auftauchens solcher Gruppen im Alltag eines Mathematikers kann ich leider nicht viel sagen. In meinem bisherigen Studium sind mir solche Gruppen nicht häufig begegnet, zumindest nicht konkret. Sondern eher theoretisch, in dem Sinne, dass man eine Aussage über eine Gruppe formuliert, in der jedes Element selbstinvers ist.Also eine Gruppe mit mehr als zwei Elementen, in denen alle Elemente selbstinvers sind, kann keine zyklische Gruppe sein, da man keinen Erzeuger findet. Wie soll dieser aussehen? Wenn bereits ist, dann ist , könnte also nie die ganze Gruppe erzeugen. |
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| 02.05.2011, 17:19 | Sonja_Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Weitere Überlegungen Und wenn man sich allgemein z.B. die Gruppe der ganzen Zahlen vornimmt?! Ich meine theoretisch wäre ja z.B. 1+(-1)=0 2+(-2)=0 usw. (also 0=NE). Aber dann wäre ja nicht 1=-1 
Mhm, mein Problem ist einfach, dass wir in der VL die definition mit g^2=e aufgeschrieben haben, aber kein beispiel folgte... und ich mich nun frage, wozu ich das brauche, wenn ich nichtmal wirklich gruppen kenne, wo das gilt (und dann nützt mir die Folgerung mit dem abelsch ja auch nix).... kennst du beispiele (anschaulich?) bestr grüße, sonja |
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| 02.05.2011, 17:49 | Merlinius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Weitere Überlegungen
Richtig, die additive Gruppe der ganzen Zahlen ist zyklisch, ein Erzeuger wäre 1 oder -1. Aber die Elemente sind nicht selbstinvers.
Was habt Ihr denn genau definiert an der Stelle, wo Du sagst "in der VL die definition mit g^2=e aufgeschrieben haben"? Also einmal ein ganz einfaches Beispiel einer zyklischen Gruppe. Ich weiß nicht, ob Ihr Permutationen schon hattet? (1 2 3) ist ein 3-Zykel, also eine bijektive Selbstabbildung . Man tut praktisch die Zahlen (1, 2, 3, 4, 5, ...) hinein, und die ersten drei Zahlen werden einmal im Kreis gedreht. Somit hat man nach einmaliger Anwendung: (3, 1, 2, 4, 5, ...), und nach zweimaliger Anwendung (2, 1, 3, 4, 5, ...). Nach dreimaliger Anwendung ist man wiieder in der Ausgangslage (1, 2, 3, 4, ...) Somit erzeugt (1 2 3) - wie der Name schon sagt - eine zyklische Gruppe von Ordnung 3. Wenn ich (1 2 3) dreimal anwende, bin ich wieder in der Ausgangslage. Die Gruppe hat also die Elemente . Dies nur mal als Beispiel für eine zyklische Gruppe, in der die Elemente nicht selbstinvers sind. Nun mal ein Beispiel für eine zyklische Gruppe, wo die Elemente selbstinvers sind. Wie oben beschrieben, kann die Gruppe dann nur zwei Elemente haben. Jetzt nehme ich einfach mal Transpositionen ("2-Zykel"). Betrachte: Analog zu oben, ist (2 3) eine Abbildung, die die zweite und dritte Komponente vertauscht. D.h. angewendet auf (1, 2, 3, 4, ..., n) bekommt man (1, 3, 2, 4, ..., n). Wenn ich dies nun wiederhole, bin ich direkt wieder bei der Ausgangslage (1, 2, 3, 4, ..., n), d.h. (2 3) ist selbstinvers. Also wenn ich die zweite und dritte Komponente zwei mal wechsle, ist das genauso als würde ich gar nichts tun, was ja der Identitätsabbildung entspricht (diese ist das neutrale Element bei den Permutationen). Falls Du Permutationen noch nie gesehen hast, war das vielleicht ein bisschen zu viel des Guten. Dann vergiss es einfach. Ein anderes Beispiel für eine solche Gruppe wäre eine Matrizengruppe: Die Matrix ist hier auch selbstinvers. Wenn Du sie einmal mit sich selbst multiplizierst, hast Du die Identität (Einheitsmatrix). |
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| 02.05.2011, 17:59 | Sonja_Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, vielen Dank für deine Mühen... das ist wirklich recht ausführlich 
Zyklische Gruppen mit den Permutationen (Symetrische Gruppen) haben wir bereits angeschnitten! Also, aber trotzdem zu dem Kern des Problems: Wir haben notiert (nach den Gruppenaxiomen), dass aus g^2=e folgt, dass die Gruppe abelsch ist. Nun denke ich mir, dass ist ja sicher ganz nützlich. Aber ich kenne ja eigentlich gar keine Gruppe, wo eben obiges für alle g gilt. Wozu shreib ich mir also solch eine schöne Folgerung auf, wenn sie mir nicht wirklich etwas bringt...!? Deswegen suche ich nach Beispielen. Und da wir die zyklische Gruppe behandelt hatten, dachte ich, dass da vielleicht am ehesten eines zu finden wäre.... Aber ich lasse mich auch gerne auf die symmetrische Gruppe ein... aber das stell ich mir noch schwieriger vor *grübel* |
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| 02.05.2011, 18:06 | Merlinius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also wenn Du einfach eine Gruppe haben willst, in der alle Elemente selbstinvers sind, dann nimm z.B.: Diese Gruppe hat die Elemente (1 2), (5 6), (1 2)°(5 6), id, und jedes Element ist selbstinvers. Und bei der symmetrischen Gruppe und ihren Untergruppen findet man oft die anschaulichsten Beispiele und Gegenbeispiele für viele Aussagen über Gruppen. |
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| 02.05.2011, 18:15 | Sonja_Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also, mal schauen, ob ich das richtig verstehe. Es muss gelten g^2=e (12)°(12)=id (56)°(56)=id Und bei den Inversen: (12)°(21)=id (also auch abelsch) (56)°(65)=id (12)°(56)=? (Worauf bildet denn jetzt hier was ab?!) Ist dann hier somit die Identität das Neutrale Element?! Die Gruppe hat (12), (21), (56), (65) und id als Elemente, also (min.) fünf Elemente, richtig?! Ist das auch eine Symmetrische Gruppe (und beinhaltet sie auch die "3","4", die jedoch auf sich selbst abgebildet werden?!) BEste Grüße, Sonja |
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| 02.05.2011, 18:33 | Merlinius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also (1 2) = (2 1), (5 6) = (6 5). Die Gruppe hat die vier Elemente, die ich oben hingeschrieben habe. Transpositionen sind immer selbstinvers, wie man sich leicht klarmachen kann. Die Abbildung (1 2)(5 6) vertauscht die Elemente 1<->2 und 5<->6. Wenn ich das zwei mal tue, bin ich wieder in der Ausgangslage, also ist auch dieses Element selbstinvers. Dies ist nicht "die" symmetrische Gruppe, denn diese beinhaltet jeweils alle Permutationen. Sondern es ist eine Untergruppe einer symmetrischen Gruppe. Es gibt auch nicht die eine symmetrische Gruppe, sondern die hängen davon ab, welche Elemente man miteinander vertauscht. Oben war es vielleicht etwas schlampig formuliert, weil ich nicht explizit genannt habe, die symmetrische Gruppe wovon ich betrachte. Also betrachte es einfach als Untergruppe der Gruppe edit: ja die Identität ist das neutrale Element. |
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| 02.05.2011, 18:42 | Sonja_Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Merlinius, dann wäre aber analog auch z.B. die Gruppe, bestehend aus (12), (21), (34), (43) und id (=> 5 Elemente, denn die "id" zählt man doch mit?!) auch abelsch und würde die Bedingung mit g^2=e erfüllen, oder?! |
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| 02.05.2011, 18:49 | Sonja_Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber sind solche Sachen nicht sehr trivial?! Ich meine, dass Transpositionen selbst invers sind, ist ja eigentlich klar... Hast du noch ein etwas anspruchsvolleres Bsp. für mich? Aber bitte mich nich überfordern! |
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| 02.05.2011, 19:19 | Merlinius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie oben schon gesagt: (1 2) = (2 1), (3 4) = (4 3). Die von diesen Elementen erzeugte Gruppe hat vier Elemente: id, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4). Nicht die Schreibweise macht das Element aus. (1 2) und (2 1) sind zwei Schreibweisen für das selbe Element. Genau wie (1 2 3), (2 3 1) und (3 1 2). Übrigens kann es keine Gruppe mit fünf Elementen geben, in der jedes Element selbstinvers ist. Also "anspruchsvolle" Beispiele fallen mir gerade nicht ein, ehrlich gesagt. Außer der Kleinschen Vierergruppe (wiki), die aber auch nicht anspruchsvoll ist. Also sofern Du jetzt nicht tief in die Gruppentheorie einsteigen willst, ist es denke ich auch nicht so essentiell, nun exotische Beispiele zu finden. |
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Unwissenschaftlich!