Konvergenz natürlicher Folge mit card(M)

02.05.2011, 16:58

IrMel

Konvergenz natürlicher Folge mit card(M)

Hallo,

ich habe eine kleine Unsicherheit bei folgender Aufgabe:

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"Für natürliche Zahlen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ betrachten wir die Mengen

$\begin{eqnarray*} A_{k,d} := \left\{k+n\cdot d | n\geq 0\right\} \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ setze

$\begin{eqnarray*} h_n := \frac{1}{n} \cdot card(\left\{ A_{k,d}\cap \left\{ 1, ...,n\right\} \right\} ) \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} card(M) \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Beweisen Sie, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (h_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergiert, und berechnen Sie den Grenzwert. Interpretieren Sie das Ergebnis!"
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So wie ich das verstanden habe, ist $\begin{eqnarray*} h_n \end{eqnarray*}$ immer 0, unabhängig von k und d. Denn $\begin{eqnarray*} A_{k,d} \end{eqnarray*}$ ist immer mindestens um eins größer als {1,...,n}. Deshalb ist $\begin{eqnarray*} card(\left\{ A_{k,d}\cap \left\{ 1, ...,n\right\} \right\} ) \end{eqnarray*}$ null und somit $\begin{eqnarray*} h_n \end{eqnarray*}$ null.
Stimmt dies oder habe ich mich irgendwo vertan? Danke für eine Antwort.

02.05.2011, 18:37

Ibn Batuta

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Deine Logik verstehe ich nicht.

Betrachten wir als Beispiel mal k=1 und d=2 und n=7. Dann haben wir $\begin{eqnarray*} A_{1,2} := \left\{1+2n | n\geq 0\right\} \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} A_{1,2} =\{ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 \} \end{eqnarray*}$

Und wir haben die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{0, 1, 2, 3, ..., 7\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{card}(\left\{ A_{1,2}\cap \left\{ 1, ...,n\right\} \right\} )=3 \end{eqnarray*}$ , weil 3, 5 und 7 in beiden Mengen liegt.

$\begin{eqnarray*} h_7 = \frac{3}{7} \end{eqnarray*}$ .

Das war nur ein Beispiel für bel. natürliche Zahlen k, d und n. Vielleicht wird dir ja dadurch klarer, was da steht.

Ibn Batuta

02.05.2011, 18:42

IrMel

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ahhh

ich hatte verstanden, dass $\begin{eqnarray*} A_{1,2} \end{eqnarray*}$ nur ein einziger Wert wäre. Gut, dann setz ich mich nochmal ran.

Zitat:

Original von Ibn Batuta $\begin{eqnarray*} \text{card}(\left\{ A_{1,2}\cap \left\{ 1, ...,n\right\} \right\} )=3 \end{eqnarray*}$ , weil 3, 5 und 7 in beiden Mengen liegt.

ist 1 dann nicht auch in beiden vorhanden und somit card(...)=4?

02.05.2011, 19:45

IrMel

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Ich weiß nicht, wie man $\begin{eqnarray*} \text{card}(\left\{ A_{k,d}\cap \left\{ 1, ...,n\right\} \right\} ) \end{eqnarray*}$ allgemein als Formel aufschreiben kann. So kann ich das ja nicht in den Limes einsetzen verwirrt

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