Grenzwert

02.05.2011, 17:46	Frank0909	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Hallo, ich muss einen Grenzwert berechnen: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\frac{sin{x}}{\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ Meine überlegung war L'Hospital anzuwenden, soll aber auf einen anderen Weg gerechnet werden.. Ich habe auch schon versucht zu erweitern, mit x und $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ komme aber auf keine vernünftige Lösung.. Wäre über Tipps sehr dankbar. Gruß
02.05.2011, 17:54	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Erweitern ist aber eine gute Idee. Zb. zu $\begin{eqnarray} \frac{\sin(x)}{x}\cdot\sqrt{x} \end{eqnarray}$ . Wie verhält sich $\begin{eqnarray} \frac{\sin(x)}{x} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\to0 \end{eqnarray}$ ? Wie $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ ? Dann Grenzwertsätze.
02.05.2011, 17:59	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest auch einfach $\begin{eqnarray} \sin x := \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray}$ betrachten. MfG
02.05.2011, 18:15	Frank0909	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1 \end{eqnarray}$ Aber da muss ich ja auch wieder L'Hospital anwenden..
02.05.2011, 18:26	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, auch zur Berechnung dieses Grenzwertes könntest du einfach meinen vorgeschlagenen Lösungsweg benutzen. MfG
02.05.2011, 18:36	Frank0909	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Tutor hat gesagt, es gibt einen simplen Weg.. Mit der Folge wäre es nicht sehr simpel..
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02.05.2011, 18:38	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \lim_{x \to 0} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n+1)!} = 1 \end{eqnarray}$ , was ist daran bitte nicht sehr simpel? MfG PS: Das, was ich oben gepostet habe, ist eine Reihe, keine Folge.
03.05.2011, 08:03	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Den anderen Klassiker kann ich mir einfach nicht entgehen lassen: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}=\sin'(0)=\cos(0)=1 \end{eqnarray}$ .

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