Umkehrfunktionen

07.12.2006, 22:49

beachboy

Umkehrfunktionen

Hallo,

ich hänge gerade an folgendem:

gegeben sind diese funktionen:

1. $\begin{eqnarray*} y=\frac{x}{2} +\sqrt{\frac{x^2}{4} -1} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} y=\sin(arctan~x) \end{eqnarray*}$

ich soll ohne die Ableitung zu berechnen, jeweils ein intervall angeben in dem die Funktion monoton ist und jeweils die Umkehrfunktion berechnen...

zu 1)

zu diesem monotonen intervall fällt mir nichts ein, wie mache ich das?

umkehrfunktion habe ich so berechnet. man muss ja x und y vertauschen und dann nach y auflösen:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{x}{2} +\sqrt{\frac{x^2}{4} -1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\frac{y}{2} +\sqrt{\frac{y^2}{4} -1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2=\frac{y^2}{4} + \frac{y^2}{4} -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2=\frac{2y^2}{4} -1 /*4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4x^2=2y^2 -4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^2=2x^2 +2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=2x + \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

2) kann mir hier jmd nen tipp geben, wie ich auf die umkehrfunktion komme und auf das intervall in dem die Fkt. monoton ist?

hoffe mir kann jmd weiterhelfen! Danke im Vorraus!!!

lg
beach

07.12.2006, 23:07

mYthos

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Hi!

Deine Umkehrfunktion von 1) stimmt NICHT! Du hast falsch quadriert. Denk an die binomischen Formeln!

$\begin{eqnarray*} (a + b)^2 \neq a^2 + b^2 \end{eqnarray*}$

Zu 2.)

Ersetze im ersten Schritt die Sinusfunktion mittels des Zusammenhanges

$\begin{eqnarray*} tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} \end{eqnarray*}$

durch eine Tangensfunktion und verwende tan(arctan(x)) = x

Die Funktion wird dann zu

$\begin{eqnarray*} y = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \end{eqnarray*}$

Im zweiten Schritt erstellst du davon die Umkehrfunktion.

mY+

08.12.2006, 10:25

beachboy

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hups ich hab nun erst das $\begin{eqnarray*} y/2 \end{eqnarray*}$ rüber und dann quadriert:

$\begin{eqnarray*} x-\frac{y}{2} =\sqrt{\frac{y^2}{4} -1} ~/^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-\frac{y}{2})^2 =\frac{y^2}{4} -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 -xy+\frac{y^2}{4}= =\frac{y^2}{4} -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2-xy=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x-y =-\frac{1}{x} -x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=x+\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

hab ich nun richtig quadriert-?

danke vielmals!

08.12.2006, 13:18

mYthos

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1. OK

Und wie ist es mit 2.? Die Umformung mit dem sin, tan kapiert? Wie lautet das Ergebnis?

mY+

08.12.2006, 19:41

beachboy

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ach mythos was würde ich nur ohne dich machen Augenzwinkern

danke für die Hilfe!!!

was ich bei der umformung nicht verstehe, wie ich auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x^2} \end{eqnarray*}$ komme??!

bei wiki fand ich nur folgendes

http://upload.wikimedia.org/math/5/a/3/5a32453f71e40c57dfebae7e048d2c1d.png

lg
beach

08.12.2006, 23:48

mYthos

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1.

Umformung: (sin(x) in tan(x) ausdrücken:

$\begin{eqnarray*} tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1 - sin^2(x)) \cdot tan^2(x) = sin^2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin^2(x) = \frac{tan^2(x)}{1 + tan^2(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin(x) = \frac{tan(x)}{\sqrt{1 + tan^2(x)}} \end{eqnarray*}$

2.

Mit der in 1. entwickelten Beziehung können wir y = sin(arctan(x)) nun so schreiben:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{tan(arctan(x))}{\sqrt{1 + tan^2(arctan(x))}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \end{eqnarray*}$

Dies ist nun identisch mit y = sin(arctan(x))

3. Davon ist auf üblichem Weg nun die Umkehrfunktion zu ermitteln.

__________________________

Zur Kontrolle gehen wir noch einen anderen Weg (wenn du ihn durchschaust, nimm diesen, er ist kürzer):

$\begin{eqnarray*} y = sin(arctan(x)) \end{eqnarray*}$
----------------
$\begin{eqnarray*} y^2 = sin^2(arctan(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 - y^2 = cos^2(arctan(x)) \end{eqnarray*}$
----------------
Division:
----------------

$\begin{eqnarray*} \frac{y^2}{1 - y^2} = tan^2(arctan(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y^2}{1 - y^2} = x^2 \end{eqnarray*}$

Hier haben wir bereits das Äquivalent zur Funktion y = sin(arctan(x)), noch implizit. Da wir die Umkehrfunktion benötigen, vertauschen wir jetzt schon die Variablen und stellen dann nach y um:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{1 - x^2} = y^2 \end{eqnarray*}$

hier sind wir schon bei 3., wie oben

.....

mY+

09.12.2006, 16:03

beachboy

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drei dinge ich die nicht verstehe:

wie komme ich von

$\begin{eqnarray*} (1 - sin^2(x)) \cdot tan^2(x) = sin^2(x) \end{eqnarray*}$

auf:

$\begin{eqnarray*} sin^2(x) = \frac{tan^2(x)}{1 + tan^2(x)} \end{eqnarray*}$

und von

$\begin{eqnarray*} 1 - y^2 = cos^2(arctan(x)) \end{eqnarray*}$

durch division auf das:

$\begin{eqnarray*} \frac{y^2}{1 - y^2} = tan^2(arctan(x)) \end{eqnarray*}$

und ne andere frage: ist

$\begin{eqnarray*} sin(arcsin(x))=auch ~ x? \end{eqnarray*}$

lg
beach

09.12.2006, 18:06

mYthos

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1. Ding: Ausmultiplizieren und nach $\begin{eqnarray*} sin^2(x) \end{eqnarray*}$ umstellen

2. Ding: Es wurden jene zwei zwei Gleichungen zwischen den ------------ durcheinander dividiert, und es ist

$\begin{eqnarray*} cos^2(x) = 1 - sin^2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)} = tan^2(x) \end{eqnarray*}$

3. Ding: Ja

$\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(x)) = x \end{eqnarray*}$ .... $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ .. Umkehrfunktion

mY+

10.12.2006, 22:05

beachboy

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also gut:

$\begin{eqnarray*} (1 - sin^2(x)) \cdot tan^2(x) = sin^2(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} tan^2(x) - sin^2(x) \cdot tan^2(x) = sin^2(x) \end{eqnarray*}$

und nun? ich hab mal dividiert durch tan^2(x)

$\begin{eqnarray*} 1-sin^2(x)=\frac{sin^2(x)}{tan^2(x)} \end{eqnarray*}$

und nun? ich komme nicht auf dieses $\begin{eqnarray*} 1+tan^2(x) \end{eqnarray*}$
:-(

11.12.2006, 01:34

mYthos

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Zitat:

Original von beachboy
...
$\begin{eqnarray*} tan^2(x) - sin^2(x) \cdot tan^2(x) = sin^2(x) \end{eqnarray*}$

und nun? ich hab mal dividiert durch tan^2(x)

$\begin{eqnarray*} 1-sin^2(x)=\frac{sin^2(x)}{tan^2(x)} \end{eqnarray*}$

und nun?
...

Da hast du im Kreis gerechnet! Erst multipliziert und dann wieder durch dasselbe dividiert! Schau genau! Der Hinweis war: Ausmultiplizieren und nach $\begin{eqnarray*} sin^2(x) \end{eqnarray*}$ umstellen!

$\begin{eqnarray*} tan^2(x) - sin^2(x) \cdot tan^2(x) = sin^2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan^2(x) = sin^2(x) \cdot tan^2(x) + sin^2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan^2(x) = sin^2(x) \cdot (tan^2(x) + 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin^2(x) = \frac{tan^2(x)}{tan^2(x) + 1} \end{eqnarray*}$

mY+

12.12.2006, 17:47

beachboy

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ahh jetzt

danke!

jetz hab ich nur probleme die umkehrfunktion zu errechnen unglücklich

$\begin{eqnarray*} y=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$

nach x umstellen:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{y}{\sqrt{1+y^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\cdot \sqrt{1+y^2}=y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2\cdot 1+y^2=y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+x^2y^2=y^2 \end{eqnarray*}$

irgendwie is das ne sackgasse unglücklich

wie mach ich das denn, dass ich y auf eine seite bekomme unglücklich

2. und wie bekomme ich ein intervall zu den beiden funktionen in dem die funktionen monoton sind?

lg
beach

12.12.2006, 17:54

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} x^2+x^2y^2&=&y^2\\x^2&=&y^2-x^2y^2\\x^2&=&\left(1-x^2\right)\cdot y^2 \end{eqnarray*}$

...

12.12.2006, 17:55

mYthos

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Zitat:

Original von beachboy
...
$\begin{eqnarray*} x^2+x^2y^2=y^2 \end{eqnarray*}$
...

Nun die y²-Glieder nach rechts! Dann y² ausklammern, dividieren ...
Du, solche Umstellungen macht man aber schon in der 7. oder 8., oder? Da hast du aber jetzt noch große Schwierigkeiten.

mY+

12.12.2006, 18:20

beachboy

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ohje wie doof... ich weiß alles wieder vergessen - leider!

habs nun so gemacht:

$\begin{eqnarray*} x^2=y^2\cdot(1-x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{1-x^2} =y^2 \end{eqnarray*}$

also so dann oder?:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =y \end{eqnarray*}$

ich danke euch !

zurück zu monotonie, die hab ich leider noch nie ganz verstanden bzw. nur anhand eines schaubildes erkennen können:

wie also bekomme ich nun ein intervall dieser Funktionen raus, in dem sie monton sind:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x^2}{4}-1 } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=sin(arctan~x) \end{eqnarray*}$

lgbeach

12.12.2006, 18:54

mYthos

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Die Monotonie bestimmt man am besten über das Vorzeichen der 1. Ableitung. Solange dieses in einem Intervall durchwegs postiv ist, ist die Funktion (streng) monoton steigend, ansonsten ...

Wenn du ein Schaubild (einen Graphen) erstellst (erstellen lässt Augenzwinkern

), siehst du diese natürlich noch besser, bzw. kannst du damit dein Ergebnis kontrollieren ...

Übrigens: Die Umkehrfunktion besteht (wegen der Wurzel) aus zwei Einzelfunktionen.

mY+

12.12.2006, 20:04

beach

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Das Problem ist nur, dass ich ja (laut Aufgabe) keine Ableitung benützen soll... kann man das auch anders herleiten``? oder muss ich da mir jetzt selbst ne zeichnung machen? in der klausur dürfen wir weder grafischen rechner noch normalen rechner benützen das is eben das doofe-...

was heißt überhaupt in einem intervall? z.b. von 1-5 oder wie?

lg
beach

12.12.2006, 21:41

mYthos

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Das Intervall musst du (oft) selbst bestimmen. Die Monotonie ändert sich grundsätzlich in den Extrempunkten bzw. auch bei den Polstellen ohne Vorzeichenwechsel. Eine Wertetabbelle bzw. der damit erstellte Graph kann schon mal sehr hilfreich sein.

Man kann die Monotonie auch so testen:
Ist für jedes $\begin{eqnarray*} x_1 \leq x_2 \end{eqnarray*}$ in einem bestimmten Intervall auch $\begin{eqnarray*} f(x_1) \leq f(x_2) \end{eqnarray*}$ , so ist die Funktion in diesem Intervall monoton (streng monoton: ohne Gleichheitszeichen) steigend (analog für den anderen Fall). Im Prinzip kannst du dies solcherart (ohne Ableitung) nur stichprobenweise überprüfen.

Es gibt noch andere hilfreiche Sätze, mittels derer man sich ein Bild vom Verlauf der Funktion machen kann. So kann z.B. eine ganzrationale Funktion vom Grad n im Allgemeinen maximal n Nullstellen, n - 1 Extrema und n - 2 Wendepunkte haben (Mehrfach- oder komplexe Lösungen vermindern diese). Bei einer ganzrationalen quadratischen Funktion (Parabel) wird es für die Monotonie nur zwei Teilbereiche geben, ein Interval bis zum Scheitel (der Parabel), eines danach, in denen entgegengesetzes Monotonieverhalten herrscht. Im Scheitel selbst (relativer Extrempunkt) ist die Funktion nicht streng monoton.

mY+

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