Ordnung von g

02.05.2011, 17:46

Roonex

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Ordnung von g

Also folgende Aufgabe:

Es seien $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine endliche Gruppe mit neutralem Element $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie, dass eine naturliche Zahl n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb N _{>0} \end{eqnarray*}$ existiert mit

$\begin{eqnarray*} g^{n}=e \end{eqnarray*}$

Ich habe einfach Verständnisschwierigkeiten unglücklich

unglücklich

Ich muss also zeigen, dass ich, wenn ich ein beliebes Element g aus G mit n potenziere (welches eine natürliche Zahl ausser 0 ist), auf das neutrale Element komme?

Ist für mich irgendwie nicht nachvollziehbar verwirrt

verwirrt

Man könnte ja dann als Gruppe nehmen $\begin{eqnarray*} (M,+) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} M = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \left\{ 1 , 2, 3\right\} \end{eqnarray*}$ .
Bei der Addition ist ja 0 das neutrale Element... aber da kommt man ja nie drauf wenn man 1, 2 oder 3 potenziert, egal mit welcher Zahl verwirrt

verwirrt

Kann mir jemand einen Tipp geben? Aus der Vorlesungs-Unterlagen werde ich nicht schlau unglücklich

unglücklich

02.05.2011, 17:49

tigerbine

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Tipp

Zitat:

Es seien $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine endliche Gruppe mit neutralem Element $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$

Was ist, wenn man sich die Potenzen von g aufschreibt und behauptet, dass es ein solches n nicht gibt... Kommt man damit durch?

Potenzen bezieht sich auf die allgemein Notation. Wenn du additiv schreibst, dann ist ng= g+...+g gemeint.

02.05.2011, 17:57

Roonex

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RE: Tipp
Na gut, bei der Multiplikation ist ja 1 das neutrale Element.

n darf laut Voraussetzung ja nicht 0 sein, dann bleibt aber nur noch $\begin{eqnarray*} 1^{n} \end{eqnarray*}$ übrig damit die Gleichung gilt.

Und wenn meine Menge dann keine 1 enthält... dann geht ja gar nix verwirrt

verwirrt

Zitat:

Was ist, wenn man sich die Potenzen von g aufschreibt und behauptet, dass es ein solches n nicht gibt...

Wie meinst du aufschreiben? Sind doch unendlich Möglichkeiten g zu potenzieren verwirrt

verwirrt

02.05.2011, 18:01

tigerbine

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RE: Tipp
Wir nehmen nun eine Gruppe G mit Verknüpfung ° und schreiben g°g als g², ok?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} g^{n}=e \end{eqnarray*}$

Soll doch nun für alle g aus G gelten, n mag dabei von g abhängen. Wenn g=e, sind wir mit n=1 schon fertig. Sollte die endliche Gruppe nun nicht trivial sein, dann gibt es mindestens noch ein Element g ungleich e. Wenn es nun kein obiges n gibt, was kann man dann über g,g²,g³ etc. sagen?

02.05.2011, 18:11

Roonex

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Zitat:

Wenn es nun kein obiges n gibt, was kann man dann über g,g²,g³ etc. sagen?

Ich versteh das irgendwie nicht Erstaunt2

Erstaunt2

Für g² ist ja n=2 ...

02.05.2011, 18:13

tigerbine

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Es geht doch darum, ob g²=e gilt. verwirrt

verwirrt

Oder doch eher g³=e, oder ... Und ich schlage dir vor die Existenz von n für g über Widerspruch zu zeigen.

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02.05.2011, 18:20

Roonex

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Das Problem liegt wohl dabei dass ich das alles noch nicht so durchschaut habe verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} g^{n} \end{eqnarray*}$ <-- das sagt also aus, dass man n-viele g's aneinander knüpft?
g°g°g°g°g....

Und dass man also für jedes g irgendwann bei einer bestimmten Anzahl g's da angelangt, so dass dieses $\begin{eqnarray*} g^{n} = e \end{eqnarray*}$ ist.

Genau das kann ich mir aber nicht vorstellen verwirrt

verwirrt

Also z.b. (G,•) mit G = {1,2,3,4,5}

Da pick ich mir die 2 raus... und mache 2•2•2•2•2 bis $\begin{eqnarray*} 2^{n} = 1 \end{eqnarray*}$ ist ... was natürlich nie passieren wird...

Und überhaupt darf ich da nur $\begin{eqnarray*} 2^{2} \end{eqnarray*}$ nehmen damit ich nicht aus der Menge gerate.

Grrr, brauche eine Erleuchtung unglücklich

unglücklich

02.05.2011, 18:46

Roonex

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Hm, soll das in der Aufgabenstellung bedeuten dass die Gleichung nur für ein bestimmtes g aus G gilt? Oder soll das für alle g aus G gelten?
Weil da ja kein Quantor "für alle" oder "es gibt" dabei steht...vielleicht wird es dadurch klarer?

02.05.2011, 18:48

tigerbine

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Es soll für alle ga su G so ein n jeweils geben. Wenn es nur für ein n keins gibt, versuch doch mal den Widerspruch zu bauen.

02.05.2011, 19:11

Roonex

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Aber woher weiß ich wann irgendein $\begin{eqnarray*} g^{n} \end{eqnarray*}$ ein neutrales Element ist?

Das ist ja in der Aufgabe sehr allgemein gehalten, kann man das nicht an einem Beispiel sich klarmachen? Mit der Multiplikation gehts ja z.B. gar nicht. Da kriegt man das nur für g=1 hin, alle anderen Zahlen potenziert mit n liefern immer was anderes.

02.05.2011, 19:17

tigerbine

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Du hörst mir nicht zu. verwirrt

verwirrt

Ich habe im ersten Post nicht ohne Grund ein Wort fett markiert. Wenn etwas für alle gelten soll, dann kann man einen Widerspruchsbeweis machen, in dem man ein Element nimmt, für das es nicht gilt. Wir waren schon bei dem Fall, dass wir ein g ungleich e haben. Die Potenzen von g sind dann doch Teil einer Untergruppe von G. Was bedeutet es nun für die Untergruppe <g>, wenn es zu g kein n gibt mit $\begin{eqnarray*} g^{n}=e \end{eqnarray*}$ . Und wogegen verstößt das dann? Damit haben wir den gesuchten Widerspruch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.05.2011, 19:26

Roonex

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Hm, Untergruppen haben wir noch nicht gelernt verwirrt

verwirrt

Vielleicht verstößt es dagegen, dass es immer ein neutrales Element geben muss?

02.05.2011, 19:28

tigerbine

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Welches Wort habe ich fett markiert?

02.05.2011, 19:29

Roonex

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Naja, "endlich".

Hm, das heißt ja dann dass man n nicht beliebig wählen kann weil man irgendwann rauskommt aus der Menge...

02.05.2011, 19:33

tigerbine

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Endlich, genau. Nun nimm doch bitte mal an, es gibt kein solches n für unser g. Was kann man dann über die Potenzen von g sagen. Konkretes Zahlenbeispiel, Gruppe nun aber additiv!, sei Z. Neutrales Element ist die 0. 1 ist ungleich 0. Die Potenzen sind:

1, 1+1=2, 1+1+1=3, 1+1+1+1=4 etc.

Wie viele Elemente hat die Gruppe dann? Denn die Potenzen (Vielfachen) der 1 liegen ja in der Gruppe.

02.05.2011, 19:37

Roonex

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Die hat alle natürlichen Zahlen drin.

Dann ist die Gruppe aber nicht endlich... ist das dann der Widerspruch?

Aber wozu braucht man dann das neutrale Element? In dem Beispiel kommt man mit den 1-en ja auch nie auf 0 verwirrt

verwirrt

02.05.2011, 19:41

tigerbine

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Genau.

Natürlich taucht in meinem Beispiel die 0 nicht auf. Das war doch gerade die Annahme, dass es kein n gibt mit n*1=0. Dann ist die Gruppe aber nicht endlich. Das ist die Widerspruchsidee.

Das musst du nun allgemein mit g aufschreiben. Warum sind z.B. alle Potenzen von g dann auch verschieden. Das fehlt noch. Wären aber welche gleich, so gäbe es ein n, so dass ...

02.05.2011, 19:44

Roonex

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... g=e ist ?

Also ich meine, wenn g°g°g = g°g°g°g ist, dann ist g = e

Oder? verwirrt

verwirrt

Wobei, darüber muss ich mal nachdenken...
Wenn g°g°g = g°g°g°g und g°g°g = g°g°g dann verändert g nichts an der Gleichung wenn mans dazunimmt...

Aber wenn g = -1 und wir haben Multiplikation... Hammer

Hammer

Ähm jetzt bin ich durcheinander...

02.05.2011, 20:17

Roonex

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Ok noch einen letzten Versuch Erstaunt2

Erstaunt2

Hab grad ein bisschen überlegt Freude

Freude

Wenn es zwei Potenzen gäbe, die gleich sind, also

$\begin{eqnarray*} g^{m} = g^{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m, n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ (m,n ungleich 0 und n>m)

Dann würde doch die Potenz $\begin{eqnarray*} g^{n-m} = e \end{eqnarray*}$ sein?

Weil $\begin{eqnarray*} g^{m} \cdot g^{n-m} =g^{n} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Edit: Bitte, irgendwer muss doch Ahnung davon haben unglücklich

unglücklich

02.05.2011, 20:42

tigerbine

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So, nachdem du das hast, was folgt nun bzgl. der Endlichkeit der Gruppe?

02.05.2011, 20:43

Roonex

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Edit: Oh mom, hab den Post nicht gesehen, ich muss mal noch überlegen

02.05.2011, 20:44

tigerbine

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Nein. Wir haben nun doch nur gezeigt, wenn es kein solches n gibt, dann sind die Potenzen von g alle verschieden... Wann schlachtest du das nun (endlich) aus? Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.05.2011, 21:01

Roonex

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Ich bin die ganze Zeit am Überlegen aber es kommt nix dabei raus unglücklich

unglücklich

Also, wenn wir gezeigt haben:

Wenn es kein n gibt, dann sind die Potenzen alle verschieden.

Dann kann man doch mit Kontraposition zeigen:

Wenn nicht alle Potenzen verschieden sind (also mind. 2 gleiche), dann gibt es ein n.

verwirrt

verwirrt

02.05.2011, 21:02

tigerbine

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Nein, du hast die Beweisidee immer noch nicht verstanden. Wenn es kein n gibt, dann sind alle Potenzen verschieden, dann ist die Gruppe nicht endlich. Widerspruch.

02.05.2011, 21:06

Roonex

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Warum ist aber die Gruppe dann nicht endlich?

Wenn wir G = {-1, 0, 1} haben...

Dann kann man potenzieren wie man Lust hat und kommt trotzdem nicht raus?

02.05.2011, 21:08

tigerbine

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Was soll das für eine Gruppe sein? Wie lautet die Tabelle? Wie wurde Verknüpft?

02.05.2011, 21:14

Roonex

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Verknüpft mit Multiplikation, das machen wir doch aber auch bei den anderen Sachen o.o

Sonst könnten wir ja keine Potenzen bilden.

02.05.2011, 21:15

tigerbine

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Das ist keine Gruppe bzgl. "*". Was soll das neutrale Element sein? Was ist dann das inverse von 0?

02.05.2011, 21:17

Roonex

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Ok, dann

{G,*}, G = {1, -1} mit neutralem Element 1

02.05.2011, 21:18

tigerbine

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Dann ist (-1)²=1, also gibt es ja ein n, nämlich n=2...

02.05.2011, 21:24

Roonex

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Tatsächlich geschockt

geschockt

Na gut, aber mir fällt es trotzdem schwer den Allgemein-Fall zu betrachten unglücklich

unglücklich

Zitat:

Wenn es kein n gibt, dann sind alle Potenzen verschieden

Wieso folgt das so direkt?

Nach meinen Überlegungen läuft es immer darauf hinaus, dass alle $\begin{eqnarray*} g^{n} \end{eqnarray*}$ dann gleich sind, damit also auch g=e ist...

02.05.2011, 21:25

tigerbine

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Den Fall g=e hatten wir zu Beginn schon abgearbeit. Da war die Gruppe schon nur {e}. Wenn die Gruppe nicht nur {e} ist, dann gibt es ja ein g ungleich e. Lies den Thread bitte in Ruhe noch einmal. Steht schon alles da.

02.05.2011, 21:36

Roonex

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Ok habs gelesen... aber ich will es irgendwie immer noch nicht verstehen warum die Gruppe dann automatisch unendlich ist verwirrt

verwirrt

Z.b. G = {e, a, b} e neutrales Element
und ° mit:
a°b = e
b°a = e
a°a = b
b°b = a

D.h. nur mit a oder nur mit b kommt man doch nie auf e?

Edit: Oh Moment, doch man kommt auf e...

Aber verstehen warum das immer so ist tue ich es immer noch nicht

02.05.2011, 21:50

tigerbine

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Wenn man nur mit b doch auf e kommt, dann passt das Beispiel doch nicht für unseren Widerspruchsbeweis. Wir nehmen doch an, dass es kein solches n gibt.

Ich weiß nicht, was ich noch sagen soll, da ich die Lösung ja schon hingeschrieben habe. Vielleicht schläfst du mal eine Nacht drüber.

02.05.2011, 21:57

Roonex

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Vielleicht nochmal zusammenfassend, mein Stand der Dinge:

$\begin{eqnarray*} g^{n} \end{eqnarray*}$ : wenn für jedes n (welches aus unendlich vielen natürlichen Zahlen gewählt werden kann) immer was anderes rauskommt, muss die Gruppe unendlich sein
--> klar

Wenn ein $\begin{eqnarray*} g^{n} = e \end{eqnarray*}$ existiert, dann gibt es noch mehr n für die gilt $\begin{eqnarray*} g^{n} = e \end{eqnarray*}$ (nämlich dann immer das doppelte bzw. halbe wegen dann e*e usw.)

Aber warum heißt das dann, dass die Gruppe endlich ist??
Für die, ich sag mal 'ungeraden' n kann ja immer noch z.b. was größeres rauskommen?

Hoffentlich verstehst du mein Problem unglücklich

unglücklich

02.05.2011, 22:02

tigerbine

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Zitat:

Es seien $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine endliche Gruppe mit neutralem Element $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie, dass eine natürliche Zahl n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb N _{>0} \end{eqnarray*}$ existiert mit

$\begin{eqnarray*} g^{n}=e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G=\{e\} \checkmark \end{eqnarray*}$ .

Sei also |G|>1. Dann gibt es mind. ein $\begin{eqnarray*} g \neq e \in G \end{eqnarray*}$ . Angenommen, es gäbe für ein Element aus G kein n, was obigen Bedingungen genügt. Dann sind alle Potenzen von g verschieden, denn sonst gäbe es obiges n (siehe Rechnung ...). Wenn die Potenzen von g nun aber alle verschieden sind, so besitzt G mindestens abzählbar unendlich viele Elemente. Widerspruch zur Endlichkeit von G. Also gibt es zu jedem g ein entsprechendes n, das obiger Bedingung genügt. Das war zu zeigen.

02.05.2011, 22:10

Roonex

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Ich habe es schon fast verstanden, nur diesen Punkt nicht:

Zitat:

Dann sind alle Potenzen von g verschieden, denn sonst gäbe es obiges n

Ich denke z.b. so:

$\begin{eqnarray*} g^{1} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g^{2} = 10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g^{3} = e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g^{4} = 100 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g^{5} = 1000 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g^{6} = e \end{eqnarray*}$
.
.
.

Das soll mal nur ganz symbolisch darstellen, welcher Punkt mir noch nicht klar ist. Und ich weiß dass ich die Aufgabe verstanden habe, sobald das klar ist Freude

Freude

02.05.2011, 22:13

Roonex

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JETZT hab ichs Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} g^{4} = g^{3}*g^{1} = 1 \end{eqnarray*}$

Richtig?

Also nur symbolisch für mein Beispiel^^

Im Grunde bewegt man sich ja dann immer durch die gleichen Werte zwischen den $\begin{eqnarray*} g^{n} \end{eqnarray*}$ , welche gleich e sind.

02.05.2011, 22:14

tigerbine

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Wenn $\begin{eqnarray*} g^6=e \end{eqnarray*}$ ist, dann widerspricht das doch meiner einleitenden Annahme, dass wir g so gewählt haben, dass $\begin{eqnarray*} g^n \neq e \end{eqnarray*}$ für alle n>0 aus IN.

02.05.2011, 22:16

Roonex

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Öh, und ich hab grad so gejubelt verwirrt

verwirrt

Ich hab gedacht $\begin{eqnarray*} g^{6} = g^{3}*g^{3} \end{eqnarray*}$ und weil ja $\begin{eqnarray*} g^{3}=e \end{eqnarray*}$ ist steht ja da $\begin{eqnarray*} e \cdot e = e \end{eqnarray*}$

Achso, das muss ja nicht unbedingt Multiplikation sein unglücklich

unglücklich

Mann, wenn ich an einer einzigen Aufgabe so lang sitze... dann werd ich nie mit dem Übungsblatt fertig.

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