Bild und Kern einer Matrix
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02.05.2011, 20:11 mathe89 Auf diesen Beitrag antworten »
Bild und Kern einer Matrix
Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende Aufgabe
Ich hab eine Matrix \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & a \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
a e IR

Erstens soll a bestimmt werden, für das der Kern von A nicht nur der Nullvektor ist.
Zweitens Soll das Bild von A bestimmt werden und die zwei auftretenden Fälle abhängig von a berücksichtig werden.

Meine Ideen:
Für die erste Frage hab ich Ax=0 gesetzt und das mit dem Gauschen Eleminationsverfahren ausgerechnet und komme für a = -4 oder 0.

Für b hab ich keine Ahnung wie man das mit dem Bild aufschreiben soll.
02.05.2011, 20:13 mathe89 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern einer Matrix


Das ist die matrix A
02.05.2011, 20:46 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Erste Ideen gibt es hier.
[Artikel] Basis, Bild und Kern
02.05.2011, 20:52 mathe89 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erste Ideen gibt es hier.
ok, hab ich ja im prinzip soweit gemacht. allerdings ist jetzt die frage ob ich mein a richtig gewählt habe, da für x bei Ax=0 immer für x der 0-Vektor sowohl für a=-4 und a=0 rauskommt.
02.05.2011, 20:57 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erste Ideen gibt es hier.
Verstehe deine Schlussfolgerung nicht. Ax=0 wird immer von x=0 gelöst. Du sollst a ja nun so bestimmen, dass das nicht die einzige Lösung ist. Wie bist du vorgegangen?
02.05.2011, 21:10 mathe89 Auf diesen Beitrag antworten »

also meine lösung:

1 0 -2 |0
2 -1 a |0 +(-2)*erste zeile
-1 1 1 |0 +erste Zeile
---------------------
1 0 -2 |0
0 -1 4+a |0
0 1 -1 |0 + zeite zeile
--------------------------
1 0 -2 |0
0 -1 4+a |0
0 0 3+a |

so dann herhalte ich
0 =x(3)*(3+a)-->x(3)=-a/3

Das setz ich in die zweite Gleichung ein und erhalte -x(2)*(4a+a²)/3=0
und aus dieser gleichung kürzt sich dann irgendwann das x(2) weg und es kommt als lösung für a=-4 und a=0 raus.
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02.05.2011, 21:15 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe ich nicht. Aus der letzten Gestalt folgt doch a=-3, damit das System singulär wird. Man kann auch über die Determinante gehen.

code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:

C:=matrix(3,3,[1,0,-2,2,-1,a,-1,1,1]);
                             [ 1     0    -2]
                             [              ]
                        C := [ 2    -1    a ]
                             [              ]
                             [-1     1    1 ]

> R0 := linalg[det](C);

                             R0 := -3 - a
02.05.2011, 21:25 mathe89 Auf diesen Beitrag antworten »

das versteh ich nicht, wenn ich die determinate ausrechne kommt 9+a raus. aber eigentlich sollen wir das auch im weitesten sinne mit dem gaus algorythmus ausrechnen. warum zeigt die letzte gestalt -3? das verstehe ich noch nicht so ganz.
02.05.2011, 21:28 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn deine Determinante (von A!) abweicht, so hast du falsch gerechnet. Wenn du Gauß machst und auf

1 0 -2 |0
0 -1 4+a |0
0 0 3+a |0

Kommst, so muss a=-3 sein, damit du eine Nullzeile hast. Sonst hat die Matrix doch vollen Rang. Denk bitte in Ruhe noch mal drüber nach. Augenzwinkern
02.05.2011, 21:43 mathe89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube so langsam dämmerts bei mir: Dann müsste ja Kern A={t*
, wobei t eIR} oder
02.05.2011, 21:48 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Probe machen ist die beste Antwort. Augenzwinkern
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