vollständige induktion summe

02.05.2011, 20:52

lialia

vollständige induktion summe

Meine Frage:
hallo!

also wie gesagt geht es um vollständige induktion (das beispiel hab ich als bild angehängt) induktionsanfang und schritt ist mir klar, hab ich denk ich auch richtig gemacht, bin mir aber nicht sicher, da ich im teil vor dem= sowohl die variable k als auch n habe.

Meine Ideen:
dies ist mein lösungsansatz:

[attach]19442[/attach]

Edit lgrizu: Link enfernt, Datei angehängt, bitte lade deine Dateien hier direkt hoch und passe die Größe der maximalen Uploadgröße an, Links zu externen Hosts sind unerwünscht.

ist das soweit richtig? hab jez nämlich ein problem zu beweisen das die aussage für n+1 tatsächlich gilt also das die beiden terme (der aus dem induktionsschritt und der in dem ich bloß n durch n+1 ersetzt habe) gleich sind.

02.05.2011, 21:47

lgrizu

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RE: vollständige induktion summe
In der letzten Zeile verschwindet auf einmal dein $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ und wird zu $\begin{eqnarray*} 2^{n} \end{eqnarray*}$ .

Versuche zuerst einmal $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}2^{n+1} \cdot 3^k \end{eqnarray*}$ so umzuformen, dass du die Induktionsvorraussetzung benutzen kannst.

02.05.2011, 22:33

lialia

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RE: vollständige induktion summe
das mit dem 2^(n) ist natürlich falsch, das hab ich beim nochmals schön abschreiben übersehen, 2^(n+1) ist richtig

das mit dem umformen hab ich meiner meinung nach doch gemacht ich hab einmal die summe bis n laufen lassen und durch den term aus der annahme ersetzt und dann noch das letzte glied addiert also die 2^(n+1)*3^(n+1), oder hab ich dich jetzt falsch verstanden?

danke
glg

02.05.2011, 22:36

lgrizu

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RE: vollständige induktion summe
Okay, dann schreibe einmal deinen Induktionsschluss sauber hier hin, du kannst dazu latex benutzen, damit wir schauen können, wo es hapert bzw. wo du nicht weiterkommst.

02.05.2011, 22:54

lialia

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RE: vollständige induktion summe
induktionsstart:

\sum\limits_{k=0}^1 2^1*1 + 2^1*3^1 = 1*(3^2-1)\Rightarrow 8 = 8

induktionsschritt:

\sum\limits_{k=0}^n+1 2^(n+1)* 3^k = \sum\limits_{k=o}^n 2^n*3^k + 2^(n+1)* 3^(n+1) = 2^(n-1)*(3^(n+1)-1)+ 2^(n+1)* 3^(n+1)

das müsste doch dann durch umformen das gleiche ergeben wie 2^n*(3^(n+2)-1) \Rightarrow hier hab ich in die annahme n+1 eingesetzt.

leider komm ich mit umformen auf keinen grünen zweig, würd daher gern wissen ob bis jetzt alles richtig ist. danke!

02.05.2011, 22:55

lialia

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[latex] induktionsstart:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^1 2^1*1 + 2^1*3^1 = 1*(3^2-1)\Rightarrow 8 = 8 \end{eqnarray*}$

induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} 2^{n+1}* 3^k = \sum\limits_{k=0}^n 2^n*3^k + 2^{n+1}* 3^{n+1} = 2^{n-1}*(3^{n+1}-1)+ 2^{n+1}* 3^{n+1} \end{eqnarray*}$

das müsste doch dann durch umformen das gleiche ergeben wie $\begin{eqnarray*} 2^n*(3^{n+2}-1) \Rightarrow \end{eqnarray*}$ hier hab ich in die annahme n+1 eingesetzt.

leider komm ich mit umformen auf keinen grünen zweig, würd daher gern wissen ob bis jetzt alles richtig ist. danke!

ich hab das jetzt alles in latex getippt, aber irgendwie funktioniert das auch nciht -.-

Edit lgrizu: Latex korrigiert.

02.05.2011, 22:59

Gast11022013

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Wie ist denn Dein Latex-Code?

02.05.2011, 23:01

lialia

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das wüsst ich auch gern, ärger mich jez scho den ganzen tag mit dem beispiel rum unglücklich

02.05.2011, 23:16

lgrizu

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Und wieder der gleiche Fehler, warum verschwindet das $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ und es bleibt wieder nur ein $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ dort stehen?

Ich mache dir die erste Umformung einmal vor:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1} 2^{n+1} \cdot 3^k=2 \cdot \left( \left( \sum_{k=0}^n 2^n \cdot 3^k \right) + 2^n \cdot 3^{n+1} \right) \end{eqnarray*}$ .

Nun kannst du die Vorraussetzung anwenden.

02.05.2011, 23:21

Gast11022013

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Es wird doch Induktion über k gemacht - oder?

Wieso steht denn dann beim Induktionsschritt nach dem Summenzeichen $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ ? Bleibt das nicht unverändert?

Edit:
Ich nehms zurück!... Blödsinn!

Bitte halte Dich an den letzten Beitrag von Igrizu und ignoriere meinen.

03.05.2011, 09:18

lgrizu

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@lialia

Ein paar Kleinigkeiten zu Latex:

Zuerst einmal sind nur die Formlen in Latex-tags zu setzen, also

code:
1:	Hier steht ein Text [latex] und hier die Formel[/latex]

Desweiteren werden Exponenten und Indizes in geschweifte Klammern gesetzt:

code:
1:	[latex]2^n+1[/latex]

ergibt also $\begin{eqnarray*} 2^n+1 \end{eqnarray*}$ und

code:
1:	2^{n+1}

ergibt $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Wenn du Fregn zu Latex hast dann kannst du diese in unserem Unterforum "Bücher und Software / Latex" stellen, bei kleineren Problemen kannst du mich auch per PN fragen.

03.05.2011, 10:43

lialia

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$\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ deshalb, da ich am anfang für n n+1 eingesetzt habe. so wird $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \Rightarrow 2^{(n+1)-1} \Rightarrow 2^n \end{eqnarray*}$ .

ja, so hab ichs doch auch gemacht die summe bis n laufen lassen und dann das n+1-Glied dazu aber warum steht da jetzt bei dir $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ ? da gehört meiner meinung nach (siehe oben) $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ . ist das etwa falsch? wenn ja, warum? warum multiplizierst du das ganze mit 2?

03.05.2011, 12:22

lgrizu

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Ich habe das Distributivgesetz angewendet:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1} 2^{n+1} \cdot 3^k=\sum_{k=0}^{n+1} 2 \cdot 2^{n} \cdot 3^k=2 \cdot \sum_{k=0}^{n+1} 2^{n} \cdot 3^k \end{eqnarray*}$ .

Nun kann man den letzten Summanden (also den n+1 -ten) aus der Summe herausnehmen um die Induktionsvorraussetzung anzuwenden:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \sum_{k=0}^{n+1} 2^{n} \cdot 3^k=2 \cdot \left( \left( \sum_{k=0}^{n} 2^{n} \cdot 3^k \right) + 2^n \cdot 3^{n+1} \right) \end{eqnarray*}$ .

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