Supremum

07.12.2006, 23:20	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Supremum Bestimme für A und B jeweils das Supremum und entscheide ob es sich um Maximum bzw. Minimum handelt (ob die Zahlen also durch ein Element der Menge realisiert werden.) $\begin{eqnarray} A=\{ \frac{x²} {1+x²} : x \in \mathbb R\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B=\{ x + \frac{1} {x} : x > 0\} \end{eqnarray}$ Das Supremum ist folgender Maßen definiert: Eine nichtleere Teilmenge heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl $\begin{eqnarray} k \in \mathbb R \end{eqnarray}$ gibt, sodass gilt: $\begin{eqnarray} a \leq k \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} a \in M \end{eqnarray}$ Wenn für $\begin{eqnarray} k \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a \leq k \end{eqnarray}$ gilt, dann ist $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ obere Schranke. Def. Maximum: $\begin{eqnarray} max M = \end{eqnarray}$ wenn gilt: $\begin{eqnarray} x \leq m \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in M \end{eqnarray}$ Ich weiß nun was zu zeigen ist, aber wie ich das jetzt genau mache weiß ich nicht. Kann mir jemand über den Anfang hinaus helfen?
08.12.2006, 05:10	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Aufgabe nach zu gehen, hast du da noch ein "Infimum" in der Aufgabenstellung vergessen. Kommst du damit bei der ersten Aufgabe erstmal weiter? Zur zweiten Aufgabe: Zeige, dass für alle $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} x+\frac{1}{x}\geq 2 \end{eqnarray}$ . Wann gilt das Gleichheitszeichen? Gruß MSS
08.12.2006, 18:28	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich versteh nicht ganz wie ich das machen muss, kannst du mir mal über den Anfang hinweg helfen...
09.12.2006, 12:09	dein kommilitone in freiburg	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi chris, also ich habs so gemacht: es ist ja offensichtlich, dass 1 das Supremum ist. Dann hab ich erst mal bewiesen, dass 1 obere Schranke ist. Das geht so: Es muss ja dann gelten: $\begin{eqnarray} 1-\frac{x^{2}}{x^{2}+1} \geq 0 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \frac{1+x^{2}-x^{2}}{1+x^{2}}=\frac{1}{1+x^{2}} \geq 0 \end{eqnarray}$ stimmt, da xquadrat in den reellen Zahlen immer >= 0 ist. Und jetzt musst du noch beweisen, dass es keine kleine obere Schranke gibt. Da sitz ich grad auch noch dran Gruß M.
09.12.2006, 13:57	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie bist du darauf gekommen? $\begin{eqnarray} \frac{1+x^{2}-x^{2}}{1+x^{2}}=\frac{1}{1+x^{2}} \geq 0 \end{eqnarray}$ du hast da einfach nur im Nenner -x² gemacht...versteh ich nicht ganz, bei mir sieht das ein bisschen anders aus. Erklär mal bitte
09.12.2006, 15:17	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei mir sieht das so aus: $\begin{eqnarray} 0 \leq 1 - \frac{x²} {x²+1} = 1 - \frac{1} {1+\frac{1} {x²}} \geq0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow 1 = \ Supremum\ \ =\ \ obere \ \ Schranke\ \end{eqnarray}$ kann mir mal jemand sagen ob das richtig ist, bzw wie ich den Rest beweisen kann? Ich häng da gerade in der Luft!
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09.12.2006, 15:53	inf1nity	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 1-\frac{x^2}{x^2+1}=\frac{x^2+1}{x^2+1}-\frac{x^2}{x^2+1} \end{eqnarray}$ Rest dürfte klar sein oder?
10.12.2006, 14:48	dein kommilitone in freiburg	Auf diesen Beitrag antworten »
hab einfach alles auf einen nenner gebracht...

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