Ordnung von Untergruppen [UAB]

03.05.2011, 00:13

tigerbine

Ordnung von Untergruppen [UAB]

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gruppe und $\begin{eqnarray*} a,b \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^5=1\neq b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} aba^{-1}=b^2 \end{eqnarray*}$ . Bestimme die Ordnung der Untergruppen $\begin{eqnarray*} \langle a \rangle, \langle b \rangle, \langle a,b \rangle \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} b \neq 1 \end{eqnarray*}$ , gilt $\begin{eqnarray*} b ^2\neq b \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} a \neq 1 \end{eqnarray*}$ . Somit ist $\begin{eqnarray*} o(a)=5 \end{eqnarray*}$ , da 5 prim ist. Wie kann ich nun die Ordnung von b ermitteln? $\begin{eqnarray*} aba^{-1}=b^2 \end{eqnarray*}$ könnte ich als $\begin{eqnarray*} \phi_a(b) \end{eqnarray*}$ lesen, bzgl. eines inneren Automorphismus (Konjugation mit a). Mehr fällt mir ad hoc nicht ein.

Jemand einen nächsten Schritt für mich?

03.05.2011, 00:45

Zitrone21

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Das $\begin{eqnarray*} b^2 \neq b \end{eqnarray*}$ kannst du für die Ordnung von a weg lassen. Da 5 Prim ist, kannst du 5 in keine Primfaktoren außer 5 selber zerlegen, d.h. du weißt das $\begin{eqnarray*} <g> = \{g, g^2 , g^3, g^4, g^5 = 1\} \end{eqnarray*}$ , also die Ordnung 5.

Meinst du mit $\begin{eqnarray*} <a,b> \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} <\{ a,b\}> \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} < (a,b) > \end{eqnarray*}$ , sprich eine Produktgruppe.
Bei letzterem gilt ord((a,b,)) = KGV(ord(a), ord(b))

03.05.2011, 00:47

tigerbine

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Wieso kann ich das weglassen? Ich muss doch a=1 ausschließen. Da würde ja auch $\begin{eqnarray*} a^5=1 \end{eqnarray*}$ gelten. Steht ja nicht da, dass es die kleinste Potenz ist...

$\begin{eqnarray*} \langle a,b \rangle \end{eqnarray*}$ steht für die von a und b erzeugte Untergruppe von G. Und kann ich da bevor ich die Ordnung von b habe überhaupt was aussagen?... verwirrt

03.05.2011, 00:56

Zitrone21

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Zitat:

Original von tigerbine
Wieso kann ich das weglassen? Ich muss doch a=1 ausschließen. Da würde ja auch $\begin{eqnarray*} a^5=1 \end{eqnarray*}$ gelten. Steht ja nicht da, dass es die kleinste Potenz

Ja das a=1 musst du ausschließen. Habs wohl eben falsch gesehen, bzw ich kann grad nicht mehr rekonstruieren, wieso ich der Meinung war, das es ohne das b geht. Sorry.

Mehr fällt grad leider auch nichts mehr ein, bzw nichts was sinnvoll wäre.

03.05.2011, 00:57

tigerbine

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Danke für den Versuch. Wenn dir was einfällt, melde dich. Augenzwinkern

03.05.2011, 01:10

juffo-wup

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Was ist denn $\begin{eqnarray*} a^5ba^{-5} \end{eqnarray*}$ ?

03.05.2011, 01:12

Zitrone21

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Edit: Alles Unsinn was ich geschrieben habe.

Der Vollständigkeit halber schreibe nochmal hin, was ich für nen Gedankengang hatte, ohne meine eigenen Schlussfolgerungen einzubinden. (Da ich deren Korrektheit gerade anzweifel)

Was kannst du über Vielfaches von a^5 sagen? Inwiefern könnte ein Vielfaches der ersten Gleichung Aussagen über b machen?

03.05.2011, 01:18

tigerbine

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Zitat:

Original von juffo-wup
Was ist denn $\begin{eqnarray*} a^5ba^{-5} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} a^4aba^{-1}a^{-4}=a^4b^2a^{-4} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} b=a^4b^2a^{-4} \end{eqnarray*}$ verwirrt

03.05.2011, 01:21

juffo-wup

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Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} a^4aba^{-1}a^{-4}=a^4b^2a^{-4} \end{eqnarray*}$

Hier jetzt nochmal die Regel $\begin{eqnarray*} aba^{-1}=b^2 \end{eqnarray*}$ anwenden. Und nochmal.. Augenzwinkern

edit: Es ist einfacher, wenn man erstmal für allgemeine j $\begin{eqnarray*} ab^{j}a^{-1} \end{eqnarray*}$ bestimmt und das dann mehrfach auf $\begin{eqnarray*} a^5ba^{-5} \end{eqnarray*}$ anwendet.

03.05.2011, 01:32

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} b=a^4aba^{-1}a^{-4}=a^4b^2a^{-4}=a^3(aba^{-1})(aba^{-1})a^{-3}=a^3b^4a^{-3} \end{eqnarray*}$

Richtige Idee?

03.05.2011, 01:33

juffo-wup

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Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} b=a^4aba^{-1}a^{-4}=a^4b^2a^{-4}=a^3(aba^{-1})(aba^{-1})a^{-3}=a^3b^4a^{-3} \end{eqnarray*}$

Richtige Idee?

Ja, diese Art zu rechnen.
edit: siehe auch mein obiges edit.

03.05.2011, 02:12

tigerbine

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OK, werde ich versuchen. Kannst du mir die Lösung zur Kontrolle einstellen. Ohne Latex kannst du es ja mit Quote und weiß verschlüsseln. Augenzwinkern

03.05.2011, 02:25

juffo-wup

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Lösung:

Zitat:

Durch wiederholtes Anwenden von aba^{-1}=b^2 kann man nachrechnen: a b^j a^{-1}=b^{2j}. Damit folgt aus b=a^5 b a^{-5} : b^{2^5}=b, also b^{31}=1 und 31 ist prim. Also ord(b)=31 und |<a,b>|=5*31

03.05.2011, 02:32

tigerbine

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Danke. Werde mich dem morgen annehmen. Wink

04.05.2011, 19:20

tigerbine

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So, nun bin ich zum Nachrechnen gekommen. Die Idee mit der versteckten Lösung [Danke jester. Mit Zunge

] ist in diesem Fall klasse. Danke auch dir, juffp-wup Mit Zunge

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Ordnung von Untergruppen [UAB]

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