6:2(1+2)=9 (!)

03.05.2011, 01:37

Zellerli

6:2(1+2)=9 (!)

Der Term $\begin{eqnarray*} 6 : 2 (1+2) \end{eqnarray*}$ kam nun wiederholt im Forum vor und scheint im ganzen Netz für Aufruhr zu sorgen. Es wird teils $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , teils $\begin{eqnarray*} 9 \end{eqnarray*}$ für die Lösung gehalten.
Ich will im Folgenden erklären, warum die Lösung $\begin{eqnarray*} 9 \end{eqnarray*}$ ist und warum die Aufgabe zur falschen Lösung $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ verleitet.

Problem 1: Der ausgelassene Malpunkt

Zunächst muss betrachtet werden, was die Notation $\begin{eqnarray*} a(b+c) \end{eqnarray*}$ bedeutet.
Sie steht für $\begin{eqnarray*} a \cdot (b+c) \end{eqnarray*}$ . Das Zeichen für die Multiplikation kann nach allgemeiner Konvention also ausgelassen werden (das gilt natürlich nur, sofern dann der Term und die Variablen darin noch eindeutig sind).
Sonst hat ein ausgelassener Malpunkt keinerlei Effekt. Er sorgt also nicht dafür, dass zwei Faktoren, die ohne Malpunkt verknüpft sind, eine Priorität gegenüber anderen Punkt-Rechnungen erhalten.
Es gilt also nur "Klammer vor Punkt, Punkt vor Strich", nicht aber "Klammer vor ausgelassenem Malpunkt, ausgelassener Malpunkt vor Punkt, Punkt vor Strich".
Denn der ausgelassene Malpunkt ist nur Formsache. Er steht für einen ganz normalen Malpunkt.
Damit gilt also: $\begin{eqnarray*} a:b(c+d)=a:b\cdot (c+d) \neq a : (b \cdot (c+d)) \end{eqnarray*}$ .
Konkret: $\begin{eqnarray*} 6:2(1+2)=6:2 \cdot (1+2) \neq 6 : (2 \cdot (1+2)) \end{eqnarray*}$ .

Problem 2: Die Division

Kurzform:
Die Division ist weder kommutativ, noch assoziativ. Das heißt, man muss streng von links nach rechts vorgehen.
Es gilt also im Allgemeinen $\begin{eqnarray*} a:b\cdot c=(a:b)\cdot c \neq a : (b \cdot c) = a:b:c \end{eqnarray*}$ ,
genauso wie bei Summen und Differenzen gilt: $\begin{eqnarray*} a-b+c=(a-b)+c \neq a-(b+c)=a-b-c \end{eqnarray*}$
Damit gilt dann speziell: $\begin{eqnarray*} 6:2(1+2) = 6:2\cdot3=(6:2) \cdot 3= 3\cdot 3 = 9 \end{eqnarray*}$

Ausführlicher:
Die reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R},+,\cdot) \end{eqnarray*}$ bilden einen Körper. Das bedeutet unter anderem, dass es für jede von Null verschiedene reelle Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine andere reelle Zahl $\begin{eqnarray*} a' \end{eqnarray*}$ gibt, sodass gilt: $\begin{eqnarray*} a' \cdot a = 1 \end{eqnarray*}$ .
Als Symbole für diese spezielle reelle Zahl $\begin{eqnarray*} a' \end{eqnarray*}$ , die man das Inverse von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nennt, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Gängig sind zum Beispiel: $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ .
In einem fortlaufendem Term wird das Inverse von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ meistens durch folgende "Rechenzeichen" gekennzeichnet:
$\begin{eqnarray*} x:a \quad , \quad x/a \quad, \quad \frac{x}{a} \quad , \quad x \div a \end{eqnarray*}$
Im Grunde ist die Division aber keine eigenständige Rechenoperation, sondern wird definiert über die Multiplikation mit dem Inversen des Divisors.
Das bedeutet all diese Notationen stehen für $\begin{eqnarray*} x \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot x \end{eqnarray*}$ .
Dementsprechend ergeben sich die Rechenregeln:
$\begin{eqnarray*} a:b\cdot c = a \cdot b^{-1} \cdot c \neq a \cdot b^{-1} \cdot c^{-1} = a : b : c = a : (b\cdot c) \end{eqnarray*}$
Und schließlich konkret: $\begin{eqnarray*} 6 : 2 \cdot (1+2) = 6 : 2 \cdot 3 = 6 \cdot 2^{-1} \cdot 3 = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 = 9 \end{eqnarray*}$

Bei Fragen und Verbesserungsvorschlägen, einfach posten.

03.05.2011, 02:22

Dopap

6:2(1+2)=9 (!)

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