Differenzieren, Kettenregel

03.05.2011, 13:20

jlb

Differenzieren, Kettenregel

Meine Frage:
Hallo, ich habe wieder einmal eine Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme: Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^{n} \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbar, und es existiere ein p > 0 mit $\begin{eqnarray*} f(tx) = t^{p}f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^{n}, t > 0 \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} f'(x)x = pf(x) \text{ }\text{ }\text{ }\text{ } (x \in \mathbb R^{n}) \end{eqnarray*}$

Hinweis: Wenden Sie bei festem $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ die Kettenregel auf $\begin{eqnarray*} f \circ w \end{eqnarray*}$ an, wobei $\begin{eqnarray*} w(t) := tx \text{ } \text{ }\text{ } (t \in \mathbb R) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich habe mal den Hinweis befolgt und die Kettenregel angewendet. Da komme ich auf Folgendes: $\begin{eqnarray*} (f \circ w)'(t) = f_{x_{1}}(tx) \cdot x_{1} + ... + f_{x_{n}}(tx) \cdot x_{n} \end{eqnarray*}$ .

a) Stimmt das so?
b) Wie mache ich dann weiter? Wie kann ich z.B. die Bedingung $\begin{eqnarray*} f(tx) = t^{p}f(x) \end{eqnarray*}$ geschickt nutzen?

Danke für eure Hilfe!

03.05.2011, 16:58

Gosslot

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RE: Differenzieren, Kettenregel
würde mich auch interessen...

03.05.2011, 17:56

Huy

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$\begin{eqnarray*} f'(x)x = \lim_{t \to 0} \frac{f(x+tx) - f(x)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{(t+1)^p - 1}{t} \cdot f(x) = \left. \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \right|_{t = 0} (t+1)^p \cdot f(x) = p f(x) \end{eqnarray*}$ .

MfG

PS: Danke an gonnabphd. <3

04.05.2011, 09:46

jlb_

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Zitat:

Original von Huy
$\begin{eqnarray*} f'(x)x = \lim_{t \to 0} \frac{f(x+tx) - f(x)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{(t+1)^p - 1}{t} \cdot f(x) = \left. \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \right|_{t = 0} (t+1)^p \cdot f(x) = p f(x) \end{eqnarray*}$ .

MfG

PS: Danke an gonnabphd. <3

Danke erstmal!

Wo bleibt bei dem Schritt: $\begin{eqnarray*} f'(x)x = \lim_{t \to 0} \frac{f(x + tx) - f(x)}{t} \end{eqnarray*}$ das x hinter f'(x)? Wieso kann ich überhaupt die Richtungsableitung machen, x ist hier ja nicht normiert.

Außerdem verstehe ich diesen Schritt: $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{(t + 1)^{p} - 1}{t} \cdot f(x) = \frac{d}{dt} (t + 1)^{p} \cdot f(x) \end{eqnarray*}$ nicht ganz. Ich verstehe nicht, wie man mit diesem d/dt rechnet, wie heißt das nochmal? verwirrt

04.05.2011, 22:16

Sekigahara

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Ok also: $\begin{eqnarray*} (t+1)^{p} f(x) = f((t+1)x) \end{eqnarray*}$ , die Lösung steht von Huy schon da. $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} \end{eqnarray*}$ muss du dir einfach als "Signal zur Ableitung" nach. Schau mal im Wiki die Definition davon.

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