Eigenschaften von Tschebysche-Polynomen

03.05.2011, 14:14	crazyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaften von Tschebysche-Polynomen Guten Tag an alle, stehe wieder vor einer aufgabe, wo ich nicht weiss wie ich das machen soll. also man soll zeigen, dass ein $\begin{eqnarray} p(x)\in Span(1,x,...,x^{n-1}) \end{eqnarray}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray} max_{x\in [-1,1]} \|x^n-p(x)\|\leq \frac{1}{2^{n-1}} \end{eqnarray}$ also ich hatte mir das so überlegt, dass man das mit den eigenschaften von Tschebysche-Polynomen beweisen kann. aber ich weiss nicht wie ich da ansetzen soll und wie das so recht gehen soll. Ich bitte um Hilfe. Hier sind nochmal die Eigenschaften: a)Es gilt die Rekursion: $\begin{eqnarray} T_0(x)=1,T_1(x)=x,T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x),n\geq 1 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} T_n \end{eqnarray}$ ist ein Polynom vom Grad n mit Höchstkoeffizient $\begin{eqnarray} 2^{n-1} \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} T_n(x)=2^{n-1}x^n+... \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \|T_n(x)\|\leq 1, x\in [-1,1] \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} T_n(cos\frac{k\pi }{n}) =(-1)^k,k=0,1,...,n \end{eqnarray}$ e) $\begin{eqnarray} T_n(cos\frac{(2k+1)\pi }{2n}) =0,k=0,1,...,n-1 \end{eqnarray}$ danke schonmal im vorraus

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