Cauchyprodukt "Einstieg"

03.05.2011, 17:19

Claudi90

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Cauchyprodukt "Einstieg"

Meine Frage:
hallo ich habe eine Frage bezüglich dem Cauchyprodukt
Ich steige neu in das Thema ein. Ich hab auch schon gegoogelt nach Beispielen für Cauchyprodukte, aber ich stoße immer wieder auf das Gleiche Beispiel (aus Wikipedia). Ich kann mir das aber nicht auf meine / andere Aufgaben überleiten.

Kann mir wer helfen bei den zwei Aufgaben (siehe Bild / Anhang)? Sei es auch nur bei der a). Es wäre super nett, wenn mir wer zeigt wie man an so eine Aufgabe rangeht und diese löst.

Meine Ideen:
1/k! * 1/(k! - n!)

stimmt der Ansatz? Wie würde ich weiter vorgehen?

03.05.2011, 17:34

Huy

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http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Produktformel
Was ist daran schwierig, einfach deine Folgen bei der Formel einzusetzen? Du erhältst für c_n:

$\begin{eqnarray*} c_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \cdot \frac{1}{(n-k)!} \end{eqnarray*}$
wobei dies noch ohne Summe geschrieben werden kann. Dann berechnest du $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty c_n \end{eqnarray*}$ und das ist das Cauchy-Produkt.

MfG

03.05.2011, 17:59

Claudi90

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ok, dann hab ich es in die Formel eingesetzt.

Lasse ich dann n immer gegen unendlich laufen?!

Mir stellt sich dann noch die Frage, was ich für k einsetze?

03.05.2011, 18:01

Huy

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1. Warum solltest du n gegen unendlich laufen lassen? Du summierst unendlich viele c_n...
2. k ist eine Laufvariable...

MfG

03.05.2011, 18:14

Claudi90

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ich hätte es gegen unendlich laufen lassen, weil ich das aus Wikipedia so verstanden hab "Die cn konvergieren für n --> unendlich"

Laufvariable =
Veränderbare Größe einer Programmroutine, die bei jedem Durchlauf der Schleife automatisch um einen Wert (eins) erhöht wird.

hmmm.... aber was mache ich dann? Ich schau mir nebenher auch ein Video dazu an, aber dort wird leider nur die Theorie erklärt. Mir ist der Sinn und zweck noch nicht ganz klar. Vorallem wie ich es zu Ende rechne?

LG

03.05.2011, 18:55

HAL 9000

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Was du vielleicht mit "zu Ende rechnen" meinst: Das entstandene Reihenglied der Cauchyreihe

$\begin{eqnarray*} c_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \cdot \frac{1}{(n-k)!} \end{eqnarray*}$

lässt sich in der Darstellung noch etwas vereinfachen, d.h. ohne Summe schreiben, das wird der Aufgabensteller wohl auch noch erwarten! Als Anschub: Es ist

$\begin{eqnarray*} c_n = \frac{1}{n!} \cdot \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} = \frac{1}{n!} \cdot \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = \ldots \end{eqnarray*}$ .

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03.05.2011, 18:59

Claudi90

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das heißt also, dass:
$\begin{eqnarray*} c_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \cdot \frac{1}{(n-k)!} \end{eqnarray*}$

mehr oder weniger schon das Ergebnis ist und ich dieses jetzt nur noch vereinfachen muss? "h" und "k" bleibt also weiterhin eine Variable?

03.05.2011, 19:06

Huy

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Nein, das ist nicht das Ergebnis. Wie ich in meinem Post erläutert habe, musst du dann noch c_n von 0 bis Unendlich aufsummieren. Das steht übrigens auch bei Wikipedia. Deine letzte Frage verstehe ich nicht.

MfG

03.05.2011, 19:20

Claudi90

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Unter Wikipedia steht "Die cn konvergieren für n -> unendlich und dann folgt ein Integral, das ist etwas verwirrend.

Also bis:
$\begin{eqnarray*} c_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \cdot \frac{1}{(n-k)!} \end{eqnarray*}$
versteh ich es.

Aber mit dem aufsummieren komm ich nicht weiter, heißt das die Summe muss weg, wie der Vorredner gesagt hat, oder wie ist die weitere Vorgehensweise? verwirrt

verwirrt

Mit meiner "letzten Frage", wollte ich wissen, ob das n und k (also die Variablen in der Formel) stehen bleiben, oder ob ich da was einsetze, oder eine der beiden gegen z.b. unendlich streben lassen muss?

03.05.2011, 19:33

HAL 9000

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@Claudi90

Bitte genau auf die Worte achten: Ich habe oben deutlich von

Zitat:

Original von HAL 9000
Das entstandene Reihenglied der Cauchyreihe [...]

gesprochen, also NICHT von der Cauchyreihe selbst! Die ist natürlich, wie Huy mehrfach schon gesagt hat, dann $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} c_n \end{eqnarray*}$ .

Mit meinem Beitrag wollte ich lediglich darauf hinweisen, dass man dieses Reihenglied $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ in der Darstellung deutlich vereinfachen kann. Also bitte nichts falsch in die Beiträge reininterpretieren, was da nicht dasteht. unglücklich

unglücklich

03.05.2011, 19:48

Claudi90

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Tut mir leid, ich wollte hier niemanden angreifen. Wie gesagt, das Themengebiet Cauchy ist für mich neu, deswegen hab ich auch Reihenglied und Cauchyreihe überlesen.

Könnte mir vielleicht trotzdem wer sagen wie ich mit der Aufgabe weiter komm, bzw. was unter "c_n von 0 bis Unendlich aufsummieren" gemeint ist?

03.05.2011, 20:11

Huy

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Erstmal musst du immer noch c_n vereinfachen, damit da keine Summe mehr steht...

MfG

03.05.2011, 20:18

Claudi90

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und wenn ich das hab (leider steh ich grad aufm Schlauch, bzw. ich muss mir noch mal genau anschauen wie das funktioniert)? Wenn Du mir das sagen könntest, wär's natürlich auch super.

Nehmen wir mal an ich hätte es vereinfacht, wie gehts es dann weiter, dann musst ich c_n von 0 bis Unendlich aufsummieren!? Hier hängt es bei mir total aus, wie summiere ich sowas aus? Auch gerne an einem anderne / einfacheren Beispiel!?

04.05.2011, 13:57

Claudi90

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Kann mir jemand den letzten Schritt noch erklären? Also wie man "c_n von 0 bis Unendlich aufsummieren"?

04.05.2011, 15:28

Manni Feinbein

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Manchmal sagt ein Beispiel mehr als 1000 Worte.

Betrachte also einfach mal $\begin{eqnarray*} a_k=b_k=x^k \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{n=0}^\infty x^k\right)^2=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^nx^kx^{n-k}=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^nx^n=\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n \end{eqnarray*}$

Fertig!

04.05.2011, 19:23

Claudi90

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Danke! Jetzt hab ich die Aufgabe lösen können (siehe Anhang)

aber ich steck nun bei der zweiten Aufgabe fest:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!} * (\frac{1}{3})^ * \frac{5}{(n - k)!}^{n-k} \end{eqnarray*}$

Zwischenfrage: Versuche ich nun jeden Term der ein "n" enthält "auf der rechten Seite zu lassen"?

Kann mir wer einen Tipp / bzw. Weißheiten geben, wie man solche Summen auflöst?

04.05.2011, 20:35

Claudi90

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irgendeiner hat doch sicherlich einen Tipp, oder kann mir einen Rat mit geben Gott

Gott

05.05.2011, 13:33

Manni Feinbein

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Wo ist denn da das Problem?

Das läuft doch exakt so wie Teil a).

In Teil a) hast Du benutzt, dass $\begin{eqnarray*} 2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k} \end{eqnarray*}$ .

Hier nun kannst Du benutzen, dass $\begin{eqnarray*} (x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}x^ky^{n-k} \end{eqnarray*}$ (mit speziellen Werten für x und y).

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